Le Monde De Black And Scholes

Introduction

• Qui sont Black et Scholes ?
• A quoi servent les produits optionnels ?

Cas pratique. Couverture du risque de change avec une option

• En quoi le modèle de Black and Scholes est-il important ?

Produits dérivés optionnels

• Actifs sous-jacents des options
• Prix d’exercice (strike) et maturité
• Options call / put
• Options européennes / américaines
• Payoffs des options

Exemple. Analyse de profils de payoffs

Valorisation d’une option en temps discret

• Représentation sur un arbre
• Probabilité risque-neutre : approche intuitive
• Prix d’Arrow-Debreu
• Passage au temps continu

Hypothèses du modèle de Black and Scholes

• La diffusion log-normale de l’actif sous-jacent

Exercice. Introduction à la formule d’Ito : la forme du processus stochastique que vérifie le logarithme du prix du sous-jacent

• Les hypothèses sur le marché
• Les hypothèses sur le comportement des participants du marché
• Critique des hypothèses du modèle de Black and Scholes

Propriétés importantes du prix des options

• Valeur temps et valeur intrinsèque d’une option
• Bornes supérieure et inférieure du prix d’un call

Exercice. Calcul des bornes supérieure et inférieure du prix d’un put

• Parité call/put

Exercice. Démonstration de la parité call/put par absence d’arbitrage

Approche par le calcul d’espérance sous la probabilité risque-neutre

• Changement de numéraire et probabilité risque-neutre

Exercice. Passage de la probabilité historique à la probabilité risque-neutre

• Principe de réplication

• Calcul d’un prix du call comme espérance de la valeur actualisée de ses flux

Approche par l’Equation aux Dérivées Partielles (EDP)

• Introduction informelle aux EDPs
• Dérivation de l’EDP de Black and Scholes et solution
• Equivalence entre approche probabiliste et approche EDP

Formule de Black and Scholes

• Utilisation de la formule de Black and Scholes

Exemple. Evaluation d’un call avec la formule

• Formule de Black and Scholes et réplication

Exercice. Détermination d’une stratégie qui réplique le prix du call

• Formule de Black and Scholes et parité call / put

Exercice. Détermination de la formule pour le put à partir de la formule pour le call

Volatilité implicite et “smile de volatilité”

• Volatilité implicite et volatilité historique
• Smile de volatilité

Cas pratique. Analyse du smile de volatilité pour les options sur indices d’actions

• Pourquoi observe-t-on le smile ?

Exemple. Régularisation de la nappe de volatilité implicite et utilisation

Les “grecques”

• La définition des “grecques”

Exercice. L’EDP de Black and Scholes en termes de “grecques”

Exercice. Calcul de delta, gamma, véga et rhô à partir de la formule de Black and Scholes

• Les grecques et la couverture

Cas pratique. Delta et gamma hedging

Extensions du modèle de Black and Scholes

• Cas d’une action qui verse des dividendes
• Modèle de Garman-Kohlhagen pour les options de change
• Utilisation de la formule de Black and Scholes en dehors du modèle de Black and Scholes

Conclusion et discussion