Méthodes de Monte Carlo

Principes de Monte Carlo

• Fondements probabilistes
• Convergence de l’estimation Monte Carlo
• Erreur de l’estimation Monte Carlo
• Schéma de base d’une simulation Monte Carlo

Exemple. Simulation du prix d’une action et estimation du prix d’un call vanille par la méthode de Monte Carlo

Simulation des variables aléatoires

• Méthode de l’inverse de la fonction de répartition
• Méthode de rejet

Exercice. Simulation de distribution conditionnelle

• Simulation de variables aléatoires normales univariées

1. méthodes de Box-Muller
2. méthode de l’inverse de la fonction de répartition

Cas pratique. Générateurs de variables normales dans les logiciels et langages de programmation utilisées en finance : Excel, Matlab, GAUSS, C++

• Simulation de vecteurs gaussiens

1. définition d’un vecteur gaussien
2. factorisation de Cholesky
3. factorisation par les vecteurs propres et méthodes des composantes principales (principal components)

Exercice. Ecrire un algorithme de simulation d’un vecteur gaussien en factorisant la matrice de variance-covariance

Simulation de trajectoires de processus aléatoires

• Méthodes de simulation du mouvement brownien

1. discrétisation et marche aléatoire
2. pont brownien
3. construction par composantes principales

Exercice. Ecrire les algorithmes de simulation d’un mouvement brownien

• Algorithme de simulation d’un mouvement brownien géométrique

Cas pratique. Options avec dépendance trajectorielle (pathdependent options)

Cas pratique. Simulation des taux d’intérêt et du prix des obligations dans les modèles de Vasicek et Ho-Lee

• Simulation des solutions d’équations différentielles stochastiques (équations de diffusion)

1. techniques de discrétisation
2. schéma d’Euler et sa convergence
3. méthodes de deuxième ordre

Cas pratique. Simulation du prix d’une obligation avec des paramètres de diffusion dépendants du temps

1. extrapolation de Richardson-Romberg
2. valeurs extrêmes et barrières

Cas pratique. Schéma de discrétisation pour l’évaluation des options à barrière(s), asiatiques

Techniques de réduction de variance et méthodes de Monte Carlo pondéré

• Utilisation des variables de contrôle

Exemple. Utilisation d’options dont les prix peuvent être calculés par des formules fermées comme variables de contrôle

Exemple. Instruments de couverture et variables de contrôle

Exercice. Utilisation du prix des obligations comme variables de contrôle

• Variables antithétiques
• Méthode de stratification

Exemple. Stratification de la valeur terminale d’un mouvement brownien

Cas pratique. Échantillonnage hypercube latin (LHS) pour l’évaluation des options à barrières et asiatiques

• Moment-matching et ajustement des trajectoires

Exercice. Utilisation de la parité call / put

Cas pratique. Moment matching dans la simulation des modèles de taux forward Heath-Jarrow-Morton (HJM)

• Echantillonnage préférentiel (importance sampling) et dérivée de Radon-Nikodym

Cas pratique. Estimation des probabilités de faillite

Exercice. Evaluation des options knock-in et knock-out

Conclusion et discussion