Fonctions affines

Le contenu du document I - Définition Soient a et b deux nombres donnés et fixés. Une fonction affine est une fonction de la forme : f : x a x + b ou f(x) = a x+ b Exemple 1 : Soit f(x) = 3 x - 6

1. Calculer f (-3)

f (-3) = 3 × (-3) -6 = -9 - 6 = -15 On en conclut donc que l'image de -3 par f est -15.

1. Quel est l'antécédent de 6 ?

Ici on connaît donc l'image qui est 6, on recherche le nombre x tel que f : x 6 Ainsi, on a l'équation suivante : 3 x - 6 = 6. On résout l'équation : 3 x = 6+6 soit 3 x = 12, donc on a x = 12÷3 soit x = 4. L'antécédent de 6 est donc 4. Exemple 2 : Une société propose une formule d'abonnement de 26 € mensuels pour un forfait de 2 heures de communication et 0,60 € par minute de dépassement. Le prix à payer pour 30 minutes de dépassement est : 26 + 0,6 ×30 = 26 + 18 = 44 Pour 30 minutes de dépassement le prix est de 44 €. Pour x minutes de dépassement, le prix exprimé en euro est : f(x) = 26 + 0,6 x La fonction f ainsi définie est une fonction affine. II - Représentation graphique de la fonction affine Propriété Soient a et b deux nombres connus. La représentation graphique de la fonction affine f : x a x + b est la droite d'équation y = a x + b 1 - Le coefficient directeur On appelle coefficient directeur le nombre a tel que : y = a x + b. Deux droites de même coefficient directeur sont parallèles. 2 - Ordonnée à l'origine Soit f la fonction affine définie par f(x) = a x+ b Pour x =0 on a f(0) = a × 0 + b = b A l'origine des abscisses (quand x =0), l'ordonnée prend la valeur b ( y =b) Donc b est appelé ordonnée à l'origine et la représentation graphique de f passe par le point (0 ; b) 3 - Représentation graphique Exemple 1 : Traçons la représentation graphique de la fonction affine f(x) = 2x - 3 Pour cela on prend deux valeurs différentes de x et on calcule leurs images respectives. f(0) = -3 et f(1) = (3 ×2) - 3 = 3 donc f(1) = 3 La représentation graphique de la fonction affine f est la droite d'équation y = 2x - 3 qui passe par les points A (1 ; 3) et B (0 ; -3). Exemple 2 : Traçons les représentations graphiques des fonctions affines f et g définies ci-dessous: Pour cela on prend deux valeurs différentes de x pour chaque fonction et on calcule leurs images respectives. Pour la fonction et donc on a La représentation graphique de la fonction affine f est la droite d'équation y = 3x - 2 qui passe par les points A (3 ; 7) et B (0 ; -2). Pour la fonction et donc La représentation graphique de la fonction affine g est la droite d'équation y = 3x + 1 qui passe par les points C (2 ; 7) et D (0 ; 1). Les deux droites ont le même coefficient directeur 3, elles sont donc parallèles. III - Déterminer une fonction affine Il existe deux techniques pour déterminer une fonction affine : le calcul ou la lecture graphique. 1 - Le calcul Il faut connaître les images respectives de deux nombres donnés que l'on notera x1 et x2. Propriété dite des accroissements : On a f, la fonction affine définie par Quels que soient les nombres x1 et x2, on obtient : Ici, a est le coefficient de la fonction affine. Exemple : Déterminer la fonction affine telle que 1 ère étape : On calcule la valeur de a en se conformant à la propriété des accroissements : On en conclut donc que la fonction affine est de la forme : 2 ème étape : il s'agit maintenant de calculer la valeur de b. Dans ce but, on utilise les nombres donnés ainsi que leurs images. On résout donc l'équation suivante : Donc on a : donc b = 3 En définitive, la fonction est de la forme : 2 - Lecture graphique On peut déterminer une fonction affine à partir d'un graphique. Pour déterminer le coefficient directeur d'une droite sur un graphique, il suffit de prendre deux points distincts de la droite sur le graphique, A et B, l'abscisse du premier doit être inférieure à celle du deuxième. Le coefficient directeur a est alors trouvé par le rapport entre la différence des ordonnées, c'est-à-dire, , et la différence des abscisses, soit , de ces 2 points. Soit : Lorsque l'on étudie le graphique, on peut voir que . On part de A, pour atteindre B nous devons nous déplacer de 4 unités dans le sens positif des abscisses. Donc la différence des abscisses, = +4. Toujours en partant de A, on va vers B. Nous devons donc nous déplacer de 8 unités dans le sens positif des ordonnées. On a donc En faisant le rapport entre les différences des ordonnées et des abscisses, on obtient : On a donc : Pour déterminer b, il suffit de lire l'ordonnée à l'origine. C'est en fait le point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées . Ici, b = +1 puisque la droite passe par le point (0 ;1). La fonction est la suivante : Fin de l'extrait

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