CAMPUSCIENCES, MODULE M13 - MATHÉMATIQUES (L2) : SÉRIES NUMÉRIQUES – SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS

Licence L2 - cursus Licence (LMD) - Module indépendant
Ce module parcourt cette partie fondamentale de l’analyse : l’étude des séries de nombres puis des suites et séries de fonctions jusqu’aux séries entières.

Un premier objectif (très appliqué) pour le stagiaire sera comprendre et appliquer des règles systématiques suivant un plan prédéfini (règle de d’Alembert, de Cauchy, recherche d’un équivalent du terme général, etc ...). Un deuxième objectif (plus ambitieux) sera d’accéder à des aspects plus théoriques : les différentes notions de convergence installées ici, l’obligeront à une connaissance fine de la définition d’une limite. Ces nouvelles notions de convergence permettront de construire de nouveaux objets mathématiques à la fois riches et abstraits (jusqu’à la fonction zêta de Rieman).

En terme de compétences, le stagiaire devra être capable de :

- Reconnaître une série élémentaire et se référer de manière instantanée à ses propriétés.
- Développer une bonne intuition pour majorer, minorer, encadrer, comparer (cette activité s’appliquera autant aux suites qu’aux séries pour prouver l'existence d’une limite comme pour la déterminer).
- Faire usage avec assurance de la notion d’équivalent pour conclure sur la convergence des séries positives.
- Mettre très rapidement en oeuvre les critères de convergence (d’Alembert, Cauchy,...) ou les comparaisons aux séries de référence (comparaison à une série de Rieman, à une série géométrique, à une intégrale impropre ...) en maîtrisant leurs conditions d’application.
- Reconnaître une série alternée, appliquer le théorème de convergence de telles séries.
- Discerner les différentes notions de convergence d’une série, en connaître les conséquences sur les propriétés des séries (réarrangement des termes, produit de séries, dérivation, intégration ...).
- Mener l’étude d’une fonction définie comme...