Autour de la fonction exponentielle et ses constructions

Introduction du cours

Bonjour,

Aujourd'hui, je vais vous parler de la fonction exponentielle. Le but de ce tuto va être de montrer qu'il y a plusieurs façons de définir l'exponentielle et qu'à partir de chaque définition on peut retrouver les autres. De plus ce tuto se veut un approfondissement et donne des idées générales en mathématiques.

A qui s'adresse ce tuto ?
Il faut avoir déjà entendu parler de la fonction exponentielle, car je ne vais pas tout reprendre. Je suppose que vous connaissez ses propriétés élémentaires. Moi, je vais vous en donner différentes démonstrations et des approfondissements pour ceux qui veulent en savoir plus, quel que soit leur niveau scolaire. Uniquement par intérêt pour les mathématiques. Pour suivre, il faut avoir des notions d'analyse : savoir étudier les fonctions réelles, savoir manipuler un minimum la dérivation et les suites, et si possible les intégrales. Les propriétés seront rappelées quand cela sera nécessaire.

A quoi ça sert ?
Mais pourquoi voulez-vous toujours que ça serve à quelque chose ? Comme vous l'avez remarqué, mon but n'est pas de faire un cours classique avec mes mots, mais d'approfondir, de vous montrer des nouvelles notions qui apportent une vision différente des choses. Si vous trouvez cela intéressant, vous n'aurez aucun mal à lire le tuto. Je vous laisse d'ailleurs des notes dans un but uniquement culturel, qui vous permettront de connaitre le nom des notions utilisées si vous souhaitez aller voir plus loin par vous même (wikipédia, livre). Et si au contraire, ce genre de choses est une vraie torture, le tuto ne vous sera en rien utile. Je suis sûr qu'il y aura d'autres tutos sur le sujet qui vous conviendront mieux.

Et alors, pourquoi ne fais-tu pas plutôt un tuto qui explique la fonction exponentielle depuis le début ?
C'est mon tuto, c'est moi qui décide
Le principal problème, actuellement, c'est qu'il n'y a pas assez de tutos de maths. Du coup, je suis obligé de supposer des choses connues, qui arriveront sûrement plus tard sur le site. N'oubliez pas qu'en mathématiques, si on reprend à chaque fois tout à partir de zéro, on n'avance pas. Pour l'instant, je fais comme ça, et cela ne conviendra sûrement pas à tout le monde.

Assez parlé, on commence les choses sérieuses.

Première approche

Je commence par la construction en tant que solution d'une équation différentielle. Ne fuyez pas quand je dis cela, il n'est pas nécessaire d'avoir des connaissances sur les équations différentielles pour suivre cette partie. Je vais retrouver des propriétés que vous avez certainement déjà vues.

Définition

La définition que je vous donne est la suivante :
La fonction exponentielle, notée $\exp$, est l'unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ qui vérifie $f'(x)=f(x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ et $f(0)=1$.
On dit aussi qu'elle est l'unique solution de l'équation différentielle $y'=y$ sur $\mathbb{R}$ prenant la valeur $1$ en $0$.

Tout de suite, si vous êtes rigoureux, quelque chose devrait vous choquer dans cette définition. Une telle fonction existe-t-elle ? Mon équation différentielle a-t-elle une solution ? Il pourrait très bien n'y en avoir aucune, dans ce cas ma définition ne sert à rien. Ou il pourrait y en avoir plusieurs, à ce moment-là je n'aurais pas défini LA fonction exponentielle. Et en plus, il faudrait dans ce cas préciser un peu mieux à quoi elle ressemble, non ? C'est là tout le problème, il va falloir construire la fonction et montrer qu'il n'y en a qu'une seule. Et c'est difficile, je ne vais pas faire les choses dans l'ordre.

Propriétés

Je suppose d'abord que l'exponentielle existe et est unique comme dans ma définition. Ce sont les seules choses que je sais dessus. Nous allons voir que cette définition suffit déjà à montrer des propriétés intéressantes de l'exponentielle.

Continuité

D'abord, j'ai supposé que la fonction est dérivable sur tout $\mathbb{R}$. Et comme $\exp'=\exp$, alors $\exp'$ est continue aussi, et dérivable, car égale à $\exp$ ! En fait $\exp$ peut être dérivée autant de fois qu'on le veut, toutes ses dérivées étant égales à elle même.

Notez qu'une fonction quelconque n'est pas nécessairement continue sur tout son intervalle de définition, ni dérivable (penser à $x\mapsto\sqrt{x}$ non dérivable en $0$ mais définie sur les réels positifs), et que si sa dérivée existe, celle-ci n'est pas nécessairement continue, ni dérivable, et ainsi de suite... La fonction exponentielle a donc une propriété assez forte, on peut la dériver autant de fois qu'on veut. C'est pratique, cela évite de se poser trop de questions sur la dérivabilité des fonctions qui font intervenir l'exponentielle. Pour information, on dit qu'elle est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$. Plus précisément, de classe $\mathcal{C}^n$ sur un intervalle $I$ signifie « on peut la dériver $n$ fois de suite et la dérivée $n$-ième est continue sur $I$ ». $\mathcal{C}^{\infty}$ signifie $\mathcal{C}^n$ pour $n$ aussi grand qu'on veut.

A partir de maintenant il est sous-entendu que j'étudie la fonction sur $\mathbb{R}$ tout entier.

Signe

Je vais commencer par étudier le signe de la fonction, ce qui devrait être assez facile puisque celui ci est directement relié au signe de la dérivée.

Je vais d'abord montrer que la fonction ne s'annule pas. Pour cela, il y a une astuce qu'on ne peut pas forcément deviner tout seul. Il s'agit de définir la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$ par
$g : x\mapsto \exp(x) \times \exp(-x)$
et je vais dériver $g$ en utilisant les propriétés de $\exp$. La dérivée de $x\mapsto \exp(-x)$ est $x\mapsto -\exp'(-x)$ et quand on dérive on obtient :
$g'(x) = \exp'(x)\exp(-x) + \exp(x)(-\exp'(-x)) = \exp'(x)\exp(-x) - \exp(x)\exp'(-x)$
Oui, mais comme $\exp'(x) = \exp(x)$, on en déduit immédiatement
$g'(x)=0$
Cela prouve que $g$ est constante, égale à $g(0)=\exp(0)\exp(-0)=1$. C'est-à-dire, pour tout $x$,
$\exp(x)\exp(-x)=1$
Cette formule prouve que $\exp(x)$ n'est jamais nul et donne même la relation :
$\exp(-x)=\frac{1}{\exp(x)}$

Mais que peut-on dire d'une fonction continue qui ne s'annule pas ? Et bien, elle est de signe constant ! En effet, si elle prenait des valeurs positives et des valeurs négatives alors la fonction, qui est continue, serait bien obligée de passer par $0$ pour relier ces deux valeurs... Il s'agit du théorème des valeurs intermédiaires qui, même si on le sent intuitivement, se démontre.

Et ici comme $\exp(0)$ est strictement positive, on en déduit que l'exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$. Sa dérivée est aussi strictement positive, donc l'exponentielle est strictement croissante.

Je vous passe l'étude complète de la fonction (limites, tangentes...), c'est facile quand vous connaissez les propriétés élémentaires. Et si vous avez déjà entendu parler de l'exponentielle, comme je le suppose, vous connaissez forcément sa tête. De toute façon je vous redonne les propriétés quand j'en ai besoin.

Exponentielle d'une somme

Je vais maintenant démontrer une propriété qui sera étudiée de façon plus approfondie dans la partie suivante. Elle dit que l'exponentielle vérifie, pour $x, y\in\mathbb{R}$ :
$\exp(x+y)=\exp(x)\times\exp(y)$

Pour cela, il y a une astuce du même genre que précédemment. Il s'agit de définir la fonction $g_y$ par :
$g_y(x) = \frac{\exp(x+y)}{\exp(x)}$
ce qui a bien un sens car on a dit que $\exp$ ne s'annulait pas. Et on va dériver $g_y$. Il suffit d'appliquer proprement la formule de dérivation d'un quotient :
$g_y'(x) = \frac{\exp'(x+y)\exp(x) - \exp(x+y)\exp'(x)}{\exp(x)^2}$
Et comme $\exp'=\exp$, on trouve immédiatement $g_y'(x)=0$ partout. Cela signifie que la fonction $g_y$ est constante. Il suffit de prendre sa valeur en $0$. C'est
$g_y(0) = \frac{\exp(y)}{\exp(0)} = \exp(y)$
Ensuite, l'égalité valable pour tout $x\in\mathbb{R}$, $g_y(x)=g_y(0)=\exp(y)$ se réécrit immédiatement :
$\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$
Elle est vraie tous $x,y\in\mathbb{R}$, c'est donc la propriété que l'on voulait. Remarquez qu'on a d'abord fixé $y$, puis travaillé sur $x$, mais cet ordre n'a aucune importance puisqu'on peut choisir $x$ et $y$ de façon indépendante, et donc montrer la propriété pour tous $x,y\in\mathbb{R}$.

Construction par le logarithme

J'ai démontré des choses sur l'exponentielle, mais je n'ai toujours pas dit à quoi ressemblait cette fonction. Je l'ai seulement caractérisé par une de ses propriétés. Je vous propose ici une vraie construction. Mais elle a ses défauts. Il s'agit de commencer par le logarithme, qui est la fonction réciproque de l'exponentielle.

Pour rappel, la fonction exponentielle est définie sur $\mathbb{R}$ à valeur dans $]0,+\infty[$, est continue, avec les limites
$\lim_{x\rightarrow -\infty} \exp(x) = 0$ et
$\lim_{x\rightarrow +\infty} \exp(x) = +\infty$
On dit alors qu'elle réalise une bijection de $\mathbb{R}$ vers $]0,+\infty[$. Intuitivement cela signifie que tous les réels de $]0,+\infty[$ sont atteints une et une seule fois par l'exponentielle. Et on appelle logarithme la fonction réciproque : si je me donne un $y\in]0,+\infty[$, son logarithme est cet unique $x$ tel que $\exp(x)=y$. Cela définit une nouvelle fonction de $]0,+\infty[$ dans $\mathbb{R}$. On dit que le logarithme est la fonction réciproque de l'exponentielle. Mais je peux aussi dire que l'exponentielle est la fonction réciproque du logarithme, c'est pratique. Je vais donc commencer par le logarithme.

Construction du logarithme

On définit la fonction logarithme sur $]0,+\infty[$ par :
$\ln(x) = \int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{t}$
Cela donne, d'après les propriétés élémentaires des intégrales et primitives, que la fonction logarithme vérifie $\ln(1)=0$, elle est dérivable et
$\ln'(x) = \frac{1}{x}$

Par une étude de fonction, on voit que la dérivée est strictement positive donc le logarithme est strictement croissant. Il est continu, et on peut montrer qu'il tend vers $-\infty$ en $0$ et vers $+\infty$ en $+\infty$. On dit qu'il réalise une bijection de $]0,+\infty[$ vers $\mathbb{R}$ et on peut introduire sa fonction réciproque, qu'on appelle fonction exponentielle.

On calcule maintenant la dérivée de l'exponentielle, en sachant seulement que c'est la réciproque du logarithme. Pour cela on prend $x,a\in\mathbb{R}$ et on regarde :
$\frac{\exp(x)-\exp(a)}{x-a}$
Comme $\exp$ est une bijection, il existe des nombres $y,b\in\mathbb{R}$ tels que $x=\ln(y), a=\ln(b)$ et on est ramené à
$\frac{y-b}{\ln(y)-\ln(b)}$
Or, comme $\ln$ est dérivable, on sait que, quand $y$ tend vers $b$, la quantité
$\frac{\ln(y)-\ln(b)}{y-b}$
tend vers $\ln'(b) = 1/b$
Et c'est exactement l'inverse de la quantité d'au-dessus. De plus comme $\ln$ (et $\exp$) est continue, il revient au même de dire que $x$ tend vers $a$ ou que $y$ tend vers $b$.

Ainsi :
$\lim_{x\rightarrow a}\frac{\exp(x)-\exp(a)}{x-a} = \lim_{y\rightarrow b} \frac{y-b}{\ln(y)-\ln(b)} = \frac{1}{\ln'(b)} = b$
Or, $a=\ln(b)$ c'est-à-dire $b=\exp(a)$. La limite calculée montre que $\exp'(a)=b=\exp(a)$. On retrouve que la fonction exponentielle est solution d'une équation différentielle. De plus $\exp(0)=1$ car $\ln(1)=0$.

Intérêt

Cette construction se base sur le théorème suivant : toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives. Comme la fonction inverse est continue sur $]0,+\infty[$, on peut définir correctement le logarithme comme au dessus. En théorie, la construction est très rigoureuse, en d'autres termes "ça marche" et j'ai construit explicitement l'exponentielle. Mais vous, savez-vous construire explicitement les intégrales ? Si vous ne savez pas, vous n'êtes pas plus avancés. :p Et ce n'est pas facile, je ne vais pas vous l'expliquer ici. Voilà pourquoi cette construction n'est pas si utile que cela.

Notez qu'au passage, j'ai calculé la dérivée de l'exponentielle en connaissant celle du logarithme. Cela se généralise : on peut facilement calculer la dérivée de l'inverse d'une bijection.
Soit $g$ une bijection dérivable, d'un intervalle $I$ vers $J$, telle que $g'$ ne s'annule pas sur $I$. Alors $g^{-1}$ la réciproque est dérivable et pour $b\in J$$(g^{-1})'(b) = \frac{1}{g'\circ g^{-1}(b)}$

Preuve rapide : on prend $y,b\in J$, on pose $x=g^{-1}(y), a=g^{-1}(b)$ alors $x,a\in I$ et $g(x)=y, g(a)=b$. On calcule $(g^{-1})'(b)$ en faisant tendre $y$ vers $b$ dans
$\frac{g^{-1}(y)-g^{-1}(b)}{y-b} = \frac{x-a}{g(x)-g(a)}$
Alors $x$ tend vers $a$ et le terme de droite vers
$(g^{-1})'(b)=\frac{1}{g'(a)}=\frac{1}{g'\circ g^{-1}(b)}$

Je vous laisse appliquer vous même cette formule soit au logarithme soit à l'exponentielle, on retombe sur les résultats connus.

La fonction qui transforme les sommes en produits

J'ai démontré dans la partie précédente que la fonction exponentielle vérifie $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$ pour $x, y \in \mathbb{R}$. Mais cette propriété peut-elle servir de définition ? Je vais l'étudier plus précisément. Je vais montrer qu'il n'y a qu'une seule fonction qui la vérifie, ce qui permettra de définir l'exponentielle comme l'unique fonction ayant cette propriété. Et en même temps, je vais voir qu'avec, on peut démontrer beaucoup de choses et voir à quoi ressemble l'exponentielle.

Définition

Je vous la donne maintenant. La fonction exponentielle est l'unique fonction $f$ qui vérifié pour tous $x,y\in\mathbb{R}$$f(x+y) = f(x)\times f(y)$
dérivable en $0$ et telle que $f'(0)=1$.

Comme je vous l'ai dit, je vais montrer qu'il n'y a qu'une seule fonction qui vérifie cette propriété. Soit donc $f$ une telle fonction, nous allons chercher tout ce que nous pouvons dire sur $f$ jusqu'à arriver à la conclusion que $f$ est définie de façon unique. Ce sera alors celle-là, l'exponentielle.

Dérivation

Je vais d'abord montrer que $f$ est dérivable partout. Mais d'abord, j'ai besoin d'un petit résultat intermédiaire.

Préliminaire : valeur en $0$

Si on remplace $x$ et $y$ par $0$, on obtient $f(0+0)=f(0)f(0)$ soit $f(0)=f(0)^2$$f(0)$ est alors solution de l'équation de degré 2 $x^2-x=0$. Et depuis que vous avez appris à les résoudre, vous adorez ces équations, non ?

Citation : des lycéens

Facile ! on pose $a=1,b=-1,c=0$ et on est ramené à l'équation $ax^2+bx+c = 0$ dont les solutions sont, si $b^2-4ac \geq 0$ :
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
qui donne ici, après un calcul difficile, $0$ et $1$

Non, non et non ! J'ai vu de mes propres yeux des élèves de lycée utiliser cette méthode pour résoudre une équation si simple. On commence toujours par regarder la tête de l'équation, et on utilise la méthode générale du discriminant seulement si elle a l'air trop compliquée ! Ici $0$ et $1$ sont évidemment solutions, et comme on en a deux au degré 2, ce sont les deux seules. Il reste à déterminer laquelle de ces valeurs convient pour $f(0)$.

Que se passe-t-il si $f(0) = 0$ ? Je peux vous montrer que $f$ est partout nulle :
$f(x) = f(x+0) = f(x)f(0) = 0$
En particulier, $f$ est dérivable...