Méthodes Probabilistes et Modèles Stochastiques

Rappels sur les notions de processus et de champs stochastiques

- Processus aléatoires stationnaires, processus de Markov, martingales
- Equations différentielles stochastiques

Méthodes de Monte-Carlo - Traitement des équations de transport (I)

- Historique - Pourquoi utilise-t-on de façon intensive les méthodes de Monte-Carlo dans les grands centres industriels ?
- Principes de base : exprimer la solution d’une équation aux dérivées partielles (déterministe) comme l’espérance mathématique d’une fonctionnelle d’un certain processus aléatoire
- Illustrations aux cas simples d’une équation d’advection et de transport (type neutronique)

Modélisation d’un milieu hétérogène par homogénéisation stochastique (I)

- Exemple de modélisation avec prise en compte d’un milieu désordonné
- Mise en évidence d’un petit paramètre et principe de l’homogénéisation
- Milieu homogène équivalent

Modélisation d’un problème de dynamique stochastique

- Identification : la méthode du décrément aléatoire
- Exemple : dynamique d’un pont à haubans sous l’effet du vent - Détections d’endommagements

Modélisation d’un milieu hétérogène par homogénéisation stochastique (II)

- Exemple basé sur des matériaux contenant de petites inclusions réparties de façon aléatoire stationnaire
- Approximation de la solution grâce à une équation homogène déterministe équivalente.

Méthodes de Monte-Carlo - Traitement des équations de transport (II)

- Description de la technique de représentation particulaire d’une solution - Application de la méthode Monte-Carlo
- Remarques sur le traitement des conditions aux limites et sur l’implémentation informatique
- Limites de la méthode dans les cas très collisonnels

Méthodes approchées de la dynamique stochastique non linéaire

- Linéarisation équivalente - Méthode de moyennisation stochastique
- Exemple : stabilité de la dynamique d’un pont à haubans sous l’effet du vent

Modélisation de la dynamique d’une population de particules - Espérance et variance du nombre de particules

- Définition du processus, dit de branchement, modélisant la dynamique d’une population d’éléments pouvant se multiplier (exemple : neutrons, divers types de particules, …)
- Interprétation : l’espérance du nombre de particules est solution d’une équation aux dérivées partielles et la variance du nombre de particules est également solution d’une autre équation liée à la précédente