Introduction à la logique floue

La logique floue est une extension de la logique classique qui permet la modélisation des imperfections des données et se rapproche dans une certaine mesure de la flexibilité du raisonnement humain. Rien que cela

La logique floue présente ainsi de nombreuses applications concrètes, allant des jeux vidéo (programmation des bots) aux pilotes automatiques en passant par le micro-onde. Oui, sans que vous le sachiez, elle vous entoure !

Dans ce cours d'introduction, nous définirons les notions de base de la logique floue en les illustrant par un exemple qui sera gardé tout au long du cours. Cet exemple sera la décision du montant du pourboire à l'issue d'un repas au restaurant, en fonction de la qualité du service ressentie ainsi que de la qualité de la nourriture (exemple souvent utilisé pour introduire à la logique floue).

Prérequis : connaissances de base sur les ensembles classiques et la logique classique (booléenne) :p

La logique floue est une extension de la logique booléenne créée par Lotfi Zadeh en 1965 en se basant sur sa théorie mathématique des ensembles flous, qui est une généralisation de la théorie des ensembles classiques. En introduisant la notion de degré dans la vérification d'une condition, nous permettons à une condition d'être dans un autre état que vrai ou faux. La logique floue confère ainsi une flexibilité très appréciable aux raisonnements qui l'utilisent, ce qui rend possible la prise en compte des imprécisions et des incertitudes.

Un des intérêts de la logique floue pour formaliser le raisonnement humain est que les règles sont énoncées en langage naturel. Voici par exemple quelques règles de conduite qu'un conducteur suit, en supposant qu'il tienne à son permis ;)

Si le feu est rouge...

si ma vitesse est élevée...

et si le feu est proche...

alors je freine fort.

Si le feu est rouge...

si ma vitesse est faible...

et si le feu est loin...

alors je maintiens ma vitesse.

Si le feu est orange...

si ma vitesse est moyenne...

et si le feu est loin...

alors je freine doucement.

Si le feu est vert...

si ma vitesse est faible...

et si le feu est proche...

alors j'accélère.

Intuitivement, il semble donc que les variables d'entrée à l'instar de cet exemple sont appréciées par le cerveau de manière approximative, correspondant ainsi au degré de vérification d'une condition de la logique floue. Un système complet de règles basées sur la logique floue et permettant de prendre des décisions est appelé un système d'inférence flou.

Afin d'illustrer chacune des définitions, nous allons concevoir au fil de ce cours un système d'inférence flou. L'objectif sera de décider du pourboire à donner à la fin d'un repas au restaurant en fonction de la qualité du service ainsi que de la qualité de la nourriture :-°

Pour commencer, quelques petits rappels sur les ensembles classiques s'imposent :)

La théorie des ensembles classiques, malgré son nom compliqué, désigne simplement la branche des mathématiques qui étudie les ensembles. Par exemple, {5; 10; 7; 6; 9} est un ensemble d'entiers. {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} est l'ensemble des entiers compris entre 0 et 10. {'s'; 'd'; 'z'; 'a'} est un ensemble de caractères. {"Site"; "du"; "zéro"} est un ensemble de mots. Nous pouvons également créer des ensembles de fonctions, d'hypothèses, de définitions, des ensembles d'individus (c'est-à-dire une population), etc. et même des ensembles d'ensembles !

À noter que dans un ensemble, l'ordre n'a pas d'importance : {7; 6; 9} désigne le même ensemble que {9; 7; 6}. Néanmoins, afin d'améliorer la lisibilité, il est pratique de classer les éléments par ordre croissant, en l'occurrence {6; 7; 9}. Usuellement, un ensemble est désigné par une lettre en majuscule : ainsi, nous écrirons A = {6; 7; 9}. L'ensemble vide est noté $\emptyset$ : c'est un ensemble remarquable car il ne contient aucun élément. Cela semble inutile à première vue, mais en fait, nous allons souvent le croiser !

Les ensembles sont souvent représentés sous forme graphique, typiquement par des cercles :

Représentation graphique de l'ensemble {1; 5; 6; 7; 10}

Le concept d'appartenance est primordial dans la théorie des ensembles : il désigne le fait qu'un élément fasse partie ou non d'un ensemble. Par exemple, l'entier 7 appartient à l'ensemble {6; 7; 9}. A contrario, l'entier 5 n'appartient pas à l'ensemble {6; 7; 9}. Pour simplifier les choses, l'appartenance est symbolisée par le caractère $\in$ et la non-appartenance par le même symbole, mais barré $\notin$. Ainsi, nous avons $7 \in \{6; 7; 9\}$ et $5 \notin \{6; 7; 9\}$.

Une fonction d'appartenance (également appelée fonction indicatrice ou encore fonction caractéristique) est une fonction qui explicite l’appartenance ou non à un ensemble E. Soit f la fonction caractéristique de l'ensemble $E = \{6; 7; 9\}$, et x un entier quelconque :
$\begin{array}{rcl} f(x) & = & \left\{\begin{matrix} 1 \ \mbox{si} \ x \ \in \ E \\ 0 \ \mbox{si} \ x \ \notin \ E \end{matrix}\right. \end{array}$

Cette notion d'appartenance est très importante pour notre cours car la logique floue se base sur le concept d'appartenance floue. Cela signifie simplement que l'on peut appartenir par exemple à 0,8 à un ensemble, contrairement à la théorie des ensembles classiques où comme nous venons de le voir l'appartenance est soit 0 (n'appartient pas) ou 1 (appartient).

Afin de pouvoir manipuler les ensembles classiques et d'en faire quelque chose d'intéressant, nous définissons un ensemble d'opérations, lesquelles sont très intuitives :

Réunion de 2 ensembles, notée $A\cup B=\{x\in A \text{ ou } x\in B\}$. $A\cup B$ correspond à la partie en bleu.
Par exemple, si $A = \{6; 7; 9\}$ et $B = \{1; 5; 6; 7; 10\}$, alors $A\cup B = \{1; 5; 6; 7; 9; 10\}$.

Intersection de 2 ensembles, notée $A\cap B=\{x\in A \text{ et } x\in B\}$
Par exemple, si $A = \{6; 7; 9\}}$ et $B = \{1; 5; 6; 7; 10\}$, alors $A\cap B = \{6; 7\}$.

Voici la représentation graphique des ensembles $A = \{6; 7; 9\}}$ et $B = \{1; 5; 6; 7; 10\}}$.
Nous voyons tout de suite que $A\cup B = \{1; 5; 6; 7; 9; 10\}$ et $A\cap B = \{6; 7\}$. Pratique non ?

Mais détailler la théorie des ensembles classiques n'est pas l'objet de ce cours, donc nous nous arrêtons ici :p

Néanmoins, comme la logique floue se base sur le concept d'appartenance floue, nous voyons dès maintenant le genre de problèmes auxquels nous allons faire face et que nous allons résoudre dans les prochaines sections : comment définir par exemple une union si les appartenances ne sont pas clairement 0 ou 1 ? o_O

La logique floue repose sur la théorie des ensembles flous, qui est une généralisation de la théorie des ensembles classiques. Dire que la théorie des ensembles flous est une généralisation de la théorie des ensembles classiques signifie que cette dernière n'est qu'un cas particulier la théorie des ensembles flous. Pour faire une métaphore en langage ensembliste, la théorie des ensembles classiques n'est qu'un sous-ensemble de la théorie des ensembles flous

"La théorie des ensembles classiques n'est qu'un sous-ensemble de la théorie des ensembles flous"

Par abus de langage, suivant les us de la littérature, nous utiliserons indifféremment les termes sous-ensembles flous et ensembles flous. Les ensembles classiques sont également appelés ensembles nets, par opposition à flous, et de même la logique classique est également appelée logique booléenne ou binaire.

Voici une figure montrant la fonction d'appartenance choisie pour caractériser le sous-ensemble 'bon' de la qualité du service :

Fonction d'appartenance caractérisant le sous-ensemble 'bon' de la qualité du service

DEFINITION : Soit X un ensemble. Un sous-ensemble flou A de X est caractérisé par une fonction d'appartenance$f^{a}: X \rightarrow \left[0, 1\right]$. Cette notation veut simplement dire que quel que soit l'entrée X donnée à la fonction $f^{a}$, sa sortie est un réel entre 0 et 1. En théorie, il est possible que la sortie soit supérieure à 1, mais en pratique cela n'est quasiment jamais utilisé. Note : cette fonction d'appartenance est l'équivalent de la fonction caractéristique d'un ensemble classique.

Dans notre exemple du pourboire, il nous faudra redéfinir des fonctions d'appartenance pour chaque sous-ensemble flou de chacune de nos trois variables :

• Input 1 : qualité du service. Sous-ensembles : mauvais, bon et excellent.

• Input 2 : qualité de la nourriture. Sous-ensembles : exécrable et délicieux.

• Output : montant du pourboire. Sous-ensembles : faible, moyen et élevé.

La forme de la fonction d'appartenance est choisie arbitrairement en suivant les conseils de l'expert ou en faisant des études statistiques : formes sigmoïde, tangente hyperbolique, exponentielle, gaussienne ou de toute autre nature sont utilisables.

Cette figure montre graphiquement la différence entre un ensemble classique et l'ensemble flou correspondant à une nourriture délicieuse :

Représentation graphique d'un ensemble classique (à gauche) et d'un ensemble flou (à droite)

Cette figure compare les deux fonctions d'appartenance correspondant aux ensembles précédents :

Comparaison entre fonction caractéristique d'un ensemble classique (graphique du haut) et fonction d'appartenance d'un ensemble flou (graphique du bas)

Pour pouvoir définir les caractéristiques des ensembles flous, nous redéfinissons et étendons les caractéristiques usuelles des ensembles classiques.

Les ensembles flous comporte un certain nombre de propriétés. Voici les définitions des propriétés les plus importantes, elles ne sont néanmoins énoncées qu'à titre informatif car non nécessaire pour la compréhension du cours. Si vous le souhaitez, vous pouvez donc passer dès maintenant à la section suivante. :)

Soit X un ensemble, A un sous-ensemble flou de X et $\mu_A$ la fonction d'appartenance le caractérisant.

DEFINITION : La hauteur de A, notée $h(A)$, correspond à la borne supérieure de l'ensemble d'arrivée de sa fonction d'appartenance : $h(A)=\sup\{\mu_A(x) \mid x\in X\}$.
DEFINITION : A est dit normalisé si et seulement si $h(A) = 1$. En pratique, il est extrêmement rare de travailler sur des ensembles flous non normalisés.
DEFINITION : Le support de A est l'ensemble des éléments de X appartenant au moins un peu à A. Autrement dit, c'est l'ensemble $\operatorname{supp}(A) = \{x \in X \mid \mu_A(x)>0 \}$.
DEFINITION : Le noyau de A est l'ensemble des éléments de X appartenant totalement à A. Autrement dit, c'est l'ensemble $noy(A) = \{x \in X \mid \mu_A(x)=1 \}$. Par construction, $\operatorname{noy}(A) \subseteq \operatorname{supp}(A)$.
DEFINITION : Une $\alpha$-coupe de A est le sous-ensemble classique des éléments ayant un degré d'appartenance supérieur ou égal à $\alpha$ : $\operatorname{\alpha-coupe}(A) = \{x\in X \mid \mu_A(x) \geqslant \alpha\}$.

Voici une autre fonction d'appartenance pour un pourboire moyen sur lequel nous avons fait figurer les propriétés précédentes :

Propriétés d'un ensemble flou

Nous remarquons que si A était un ensemble classique, nous aurions simplement $\operatorname{supp}(A) = noy(A)$ et $h(A) = 1$ (ou $h(A) = 0$ si $A = \emptyset$). Nos définitions permettent donc bien de retrouver les propriétés usuelles des ensembles classiques. Nous ne parlerons pas de la cardinalité (c'est-à-dire le nombre d'éléments qu'un ensemble contient) car nous n'utiliserons pas cette notion dans la suite de ce cours. :p

Le concept de fonction d'appartenance vu précédemment nous permettra de définir des systèmes flous en langage naturel, la fonction d'appartenance faisant le lien entre logique floue et variable linguistique que nous allons définir à présent.

DEFINITION : Soit V une variable (qualité du service, montant du pourboire, etc.), X la plage de valeurs de la variable (par exemple, entre 0 et 30€ pour le pourboire) et $T_{V}$ un ensemble fini ou infini de sous-ensembles flous. Une variable linguistique correspond au triplet $\left(V,X,T_{V}\right)$.

Variable linguistique 'qualité du service'

Variable linguistique 'qualité de la nourriture'

Variable linguistique 'montant du pourboire'

Lorsque nous définissons les sous-ensembles flous d'une variable linguistique, l'objectif n'est pas de définir exhaustivement la variable linguistique. Au contraire, nous définirons seulement les sous-ensembles flous qui nous seront utiles plus tard dans la définition des règles que nous appliquerons dessus. C'est par exemple la raison pour laquelle nous n'avons pas défini de sous-ensemble "moyen" pour la qualité de la nourriture. En effet, ce sous-ensemble ne nous sera pas utile dans nos règles ; cela peut être considéré comme étant le fait qu'une nourriture moyenne est considérée comme normale, par conséquent qu'il n'y a rien à signaler en particulier concernant ce fait. De même, c'est également la raison pour laquelle (par exemple) 30 est un pourboire plus élevé que 25, alors que 25 appartient pourtant davantage au sous-ensemble flou "élevé" que 30 : cela est dû au fait que 30 est considéré non pas comme élevé mais très élevé (ou exorbitant si l'on veut changer d'adjectif). Néanmoins, nous n'avons pas créé de sous-ensemble flou "très élevé" car nous n'en avons pas besoin dans nos règles.

Afin de pouvoir manipuler aisément les ensembles flous, nous redéfinissons les opérateurs de la théorie des ensembles classiques afin de les adapter aux fonctions d'appartenance propres à la logique floue permettant des valeurs strictement entre 0 et 1.

Contrairement aux définitions des propriétés des ensembles classiques qui sont toujours les mêmes, la définition des opérateurs sur les ensembles flous est choisie, à l'instar des fonctions d'appartenance. Voici les deux ensembles d'opérateurs pour le complément (NON),...