Techniques pratiques de diagonalisation d'une matrice Online

Introduction du cours

Dans ce tuto nous allons voir des méthodes et des astuces pour diagonaliser une matrice. Pour ceux qui sont tombés ici parce qu'ils ont vu le mot matrice dans le titre mais qui ne savent pas ce que c'est, je suis navré mais ce tuto nécessite la connaissance de notions sur les matrices :( .

Pour les autres, il faut savoir que diagonaliser une matrice signifie, quand c'est possible, trouver une matrice semblable qui soit diagonale ainsi que les matrices de passages de l'une à l'autre.

Dans ce tuto, nous n'allons pas nous attarder sur la théorie de la réduction des endomorphismes mais entrer concrètement dans le vif du sujet et insister sur les aspects pratiques de la diagonalisation. En effet, diagonaliser une matrice est hyper utile car il est 100 fois plus simples de travailler avec des matrices diagonales qu'avec les autres :-° .

On démarre quand vous voulez...

Vocabulaire et définition

Bon commençons par mettre tout le monde d'accord avec un petit paragraphe sur le vocabulaire et les définitions et sur les conventions d'écriture que nous allons utiliser tout au long de ce chapitre.

On ne s'intéressera qu'aux matrices définies sur $\(M_n(\mathbb{K})\)$ où $\(\mathbb{K}\)$ est un corps, ici on se limitera à $\(\mathbb{R}\)$ ou $\(\mathbb{C}\)$, et n un entier supérieur à 1. Cela veut dire en clair que les éléments de la matrices seront des éléments de $\(\mathbb{K}\)$.

Lorsque j'écrirai par la suite M sans donner plus de précision, il s'agira d'une matrice de $\(M_n(\mathbb{K})\)$, lorsque ça sera nécessaire, il sera précisé si on est sur l'ensemble des complexes et des réels car ce n'est pas la même chose ^^ !

Maintenant que c'est dit, passons aux définitions.

Vous allez voir qu'avec la diagonalisation, on va souvent parler de propreté, pas d'inquiétude il s'agit toujours de mathématiques !

Une valeur propre$\(\lambda\)$ est un élément de $\(\mathbb{K}\)$ tel qu'il existe un vecteur X de $\(\mathbb{K}^n\)$ non nul tel que $\(MX=\lambda X\)$

Ce vecteur X est appelé vecteur propre de M associé à la valeur propre $\(\lambda\)$.

Enfin l'ensemble $\(E_\lambda=Ker(M-\lambda I_n)\)$ où $\(I_n\)$ est la matrice identité est appelé sous-espace propre associé à la valeur propre $\(\lambda\)$.

Ceux qui ont pris deux minutes pour réfléchir ne manqueront pas de remarquer que $\(X\in E_\lambda \Longleftrightarrow (M-\lambda I)X = 0\)$ par définition du noyau et donc que $\(MX=\lambda X\)$.

En un mot, le sous-espace propre associé à une valeur propre $\(\lambda\)$ est l'ensemble des vecteurs propres associés à cette même valeur propre (ouf, c'est long à dire !) auquel on rajoute 0.

Dernière chose, les valeurs propres, les vecteurs propres et les sous-espaces propres d'une matrice M sont ses éléments propres (comme ça au moins c'est clair... ^^ ).

On cherchera toujours les n valeurs propres d'une matrice de taille n, ça ne veut pas dire que ces valeurs propres sont différentes... On parle alors de multiplicité pour la valeur propre (ou d'ordre de multiplicité).
L'ensemble des valeurs propres d'une matrice M se nomme le spectre, il est noté Sp(M). Dans cet ensemble on écrit les valeurs propres différentes de M, il ne contient donc pas toujours n éléments !

Attention, notez bien que X ne doit pas être nul, c'est très important de le préciser systématiquement !
Autre point important, vous remarquez avec l'égalité que je viens d'écrire plus haut que si on a trouvé un vecteur propre X, tous les vecteurs proportionnels à X sont aussi vecteurs propres de M associés à la même valeur propre. On ne doit pas alors parler du vecteur propre mais d'un vecteur propre associé à une valeur propre donnée !

Bon je crois qu'on progresse un peu, maintenant le but du jeu c'est de procéder comme ceci :

On se donne une matrice quelconque, vous avez surement remarqué que ce n'est vraiment pas très simple de travailler avec... Déjà ne serait-ce que pour mettre une matrice au carré il faut réaliser un nombre incroyable d'opérations !
C'est tout l'intérêt de la diagonalisation, en fait on va chercher une matrice diagonale qui est semblable à notre matrice de départ, on va travailler dessus puis utiliser des propriétés sur la similitude de deux matrices qui fait qu'on pourra revenir à notre première matrice.

Regardez plutôt : on a une matrice M, admettons qu'on a réussi à la diagonaliser (on verra ensuite comment faire), alors il existe une matrice P inversible telle que $\(M=P^{-1}DP\)$ avec D une matrice diagonale. Or on aime bien travailler avec des matrices diagonales, elles sont faciles à multiplier, on voit vite si elles sont inversibles etc... Et évidemment on pourra toujours revenir à M grâce aux matrices de passages P.

La philosophie c'est qu'il vaut mieux se fatiguer à diagonaliser au début et être tranquille après que de continuer à galérer avec la matrice de départ. Pour cela on possède en 3 étapes.

- On trouve toutes ses valeurs propres
- On trouve ses vecteurs propres, ses sous espaces propres
- On cherche à savoir si la matrice est diagonalisable (et ouais parce que c'est pas toujours le cas :( )

Et c'est gagné !

Peut-être que certain d'entre vous trouvent ça étrange de chercher à savoir si la matrice est diagonalisable en dernier. Mais en fait il n'en est rien ! On peut très bien chercher les éléments propres d'une matrice qui n'est pas diagonalisable, c'est même souvent un moyen de prouver sa diagonalisabilité (sisisi ce mot existe !).
A noter toutefois que souvent c'est le calcul des valeurs propres et non des espaces propres qui permet de conclure, donc les étapes 2 et 3 peuvent être inversées !

Vous vous doutez qu'il existe une ribambelle de méthodes pour ces 3 étapes, on va regarder ça dans la suite. Je précise tout de suite que je ne vais pas refaire votre cours ! Ici on ne verra que des méthodes pratiques et pas de théorie générale, vous êtes prévenus...

Trouver les valeurs propres

La recherche des valeurs propres d'une matrice carrée peut parfois prendre des allures d'un sport de compétition, chacun à sa petite méthode et le but est d'aller le plus vite possible sans se tromper. Dans ce chapitre, on va faire un petit tour d'horizon des différentes méthodes.

A savoir, il est rare qu'on vous demande de calculer les valeurs propres d'une matrice qui n'est pas de taille raisonnable (3x3 ou 4x4 gros maximum !) à moins d'être dans un exercice théorique ou qu'on soit dans le cas d'une matrice bien particulière.

Avant de commencer, vous vous demandez peut être si vous arrivez là quel est le rapport entre la diagonalisation et les valeurs propres ?
Et bien en fait le principe de la diagonalisation c'est de trouver une matrice semblable à M qui soit diagonale (déjà 20 fois que je le dis mais au moins ça rentrera ^^ ), avec des valeurs nulles partout sauf sur la diagonale. Et bien ces valeurs non nulles ce sont les valeurs propres de M !
Vous comprenez pourquoi leur calcul est obligatoire pour diagonaliser proprement ^^ .

Polynôme caractéristiquePrésentation de la bête

Bon bah on démarre les choses sérieuses maintenant. Pour commencer, j'aimerai vous présenter un bon ami à moi, il s'appelle polynôme caractéristique associé à M et il est noté $\(\chi_M\)$ (il faut lire chi M, c'est du grec :-° ). Comme son nom l'indique, il s'agit d'un polynôme (non ??) de $\(\mathbb{K}[X]\)$, c'est-à-dire à coefficient dans $\(\mathbb{K}\)$, qui est donné par $\(\chi_{_{M}}(\lambda)=det(A-\lambda I_n)\)$.

Et bien comme vous le savez surement, les valeurs propres de M ne sont autres que les racines du polynôme caractéristique associé à M.

En gros il suffira de calculer les racines d'un polynôme pour trouver les valeurs propres de M.

Ouais mais bon trouver les racines d'un polynôme c'est pas si simple ! Puis va le calculer, ton déterminant, c'est pas facile tout ça !

Exactement, c'est pour ça que cette méthode n'est pas hyper utile. Pourtant c'est à elle que l'on pense en premier ce qui est dommage... A moins d'être dans le cas d'une matrice 3x3 avec une valeur propre évidente c'est franchement pas gagné. Lisez plutôt la suite !

Quand vous calculez le polynôme caractéristique, ce qui revient à un calcul de déterminant, n'oubliez pas d'enlever $\(\lambda\)$ sur la diagonale de M avant de le calculer. Ça peut paraitre idiot comme remarque mais en fait en allant vite on oublie souvent de le faire, et là paf faut recommencer !

Utilisation

Même si on ne s'en sert pas directement, le polynôme caractéristique est quand même important parce que c'est de lui que viennent tous les résultats sur la diagonalisation.

Par exemple, on sait grâce à lui que la dimension du sous-espace propre associé à une valeur propre donnée est égal à la multiplicité de cette valeur propre dans le spectre dans le cas d'une matrice diagonalisable.

Donc gardez bien en tête sa formule, on va voir de suite un exemple ou son utilisation permet de trouver les valeurs propres.

Trouver les valeurs propres de

$\[M=\begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ 3 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 1\end{pmatrix}\]$

On calcule notre ami $\(\chi_M(\lambda)\)$ ce qui revient à calculer :

$\[Det\begin{pmatrix} -\lambda & 2 & -1 \\ 3 & -2-\lambda & 0 \\ -2 & 2 & 1-\lambda\end{pmatrix}\]$

Bon bah ce déterminant se calcule assez bien une fois qu'on a le coup de main et on trouve :

$\(\chi_{_{M}}(\lambda)=(1-\lambda)(\lambda-2)(\lambda+4)\)$ ce qui nous donne les 3 valeurs propres...

$\(Sp(M)=\{1,2,-4\}\)$

Utilisez la trace et le déterminant

Une méthode très efficace pour trouver des relations sur les valeurs propres est de s'intéresser à la trace et au déterminant de la matrice M.
On dispose en effet des relations suivantes :
$\(\sum_{i=1}^n{\lambda _i}=Tr(M)\)$ et $\(\prod_{i=1}^n{\lambda _i}=Det(M)\)$

Mais surtout il existe une autre relation qui est ignorée par beaucoup de monde et qui peut être utile dans certains cas :
$\(\forall k \in \mathbb{N}^* \sum_{i=1}^n{\lambda _i^k}=Tr(M^k)\)$
Cette relation peut servir dans le cas où k=2, on obtient une 3eme équations pour les valeurs propres.

J'en profite pour rappeler qu'on n'a pas $\(Tr(M^k)=Tr(M)^k\)$, ça serait sympa mais c'est pas comme ça que ça marche... Donc il faut calculer $\(M^k\)$ puis calculer la trace.

Ouais... Enfin calculer le carré d'une matrice c'est super long, t'as pas mieux comme plan ?

Rah vous êtes difficiles :p mais oui, en fait il n'est pas utile de calculer toute la matrice au carré mais simplement sa diagonale (bah oui parce qu'on a juste besoin de la trace, la matrice on s'en fout un peu...).

Et le rang là dedans ?

J'y viens, connaitre le rang de M (qu'on va noter p) est assez intéressant... En effet, vous remarquez sans soucis que $\(rg(M)=p \Longrightarrow dim(ker(M))=n-p\)$ (mais si voyons ! Le théorème du rang ! ) où ce qui est pareil :
$\(dim(ker(M-0\times I_n))=dim(E_0)=n-p\)$

Eh ouais, vous l'avez reconnu, il s'agit de la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre 0 qui est donc, si M est diagonalisable, la valeur propre de multiplicité n-p (vous me suivez ? :-° ).

Pour résumer : si la matrice est diagonalisable et de rang p, alors 0 est valeur propre de multiplicité n-p.

La combinaison des méthodes précédentes est très puissante si la matrice est bourrée de 0, dans ce cas on a accès au calcul de son carré très rapidement et en plus on peut espérer que son rang n'est pas trop important.

Inutile de vous fatiguer à utiliser la relation valeurs propres/déterminant si la matrice n'est pas de rang n... En effet on obtiendra donc det(M)=0, et on sait par ailleurs que 0 est valeur propre, donc on tombe sur 0=0... Pas hyper utile.

Un exemple !

On y vient, voici un exemple où cette méthode est très efficace :
Trouver les valeurs propres de la matrice M

$\[M=\begin{pmatrix} 0 & 0 & ... & 1 \\ 0 & 0 &... & 2 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 &... & n-1 \\ 1 & 2 &... & n \end{pmatrix}\]$

En premier lieu on regarde le rang de M, alors ici c'est pas compliqué, M est de rang 2, en effet, on voit bien que les n-1 premières lignes sont proportionnelles !
On en déduit que 0 est valeur propre de multiplicité n-2, il reste donc 2 valeurs propres à trouver a et b !
Bon bah on y va, la trace pour commencer, Tr(M)=n, on a donc a+b=n

Ensuite il faut passer M au carré, enfin juste la diagonale, allez à vos stylos, ce n'est pas bien méchant on aura en fait 1², 2²... jusqu'à (n-1)² sur la diagonale de M² puis tout en bas à droite on aura $\(\sum_{k=1}^n{k^2}\)$ mais vous l'aviez trouvé tout seul !

On en déduit donc que :
$\(a^2+b^2=\sum_{k=1}^{n-1}{k^2} + \sum_{k=1}^n{k^2}=2\sum_{k=1}^n{k^2}-n^2\)$

Ou encore en remplaçant b par n-a,

$\(a^2+(n-a)^2=2\sum_{k=1}^n{k^2}-n^2\)$

Ce qui en développant donne :

$\(a^2-an+n^2-\sum_{k=1}^n{k^2}=0\)$

On va trouver deux solutions pour a, comme a et b jouent un rôle symétrique, on aura en fait les deux valeurs propres manquantes.

Bon évidemment vous voyez que les calculs peuvent être très lourd, mais je vous mets au défi de me calculer le polynôme caractéristique et de chercher ces racines là-dessus...

Magouilles diverses

Bon je vous avais dit que pour trouver des valeurs propres chacun avait sa cuisine perso, le but est d'aller très vite. Or, dans ce but, il peut être très appréciable de connaitre 2 ou 3 astuces qui permettent de trouver une valeur propre très rapidement, le calcul des autres valeurs propres peut ensuite être accéléré en retirant une inconnue.
Voici donc pour vous chers zéros les quelques trucs que j'ai trouvé.

Cas d'une matrice triangulaire

Pour une matrice triangulaire c'est très simple, on regarde les diagonales et on y lit les valeurs propres.
Pourquoi ? Mais calculez donc le polynôme caractéristique d'une telle matrice, vous voyez bien que ses racines sont les valeurs diagonales ^^ !

Regarder les lignes et les colonnes

Un truc à savoir, si la somme des éléments de toutes les lignes (ou de toutes les colonnes) est identique, alors cette somme est valeur propre associé au vecteur propre

\[X=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ . \\. \\1\end{pmatrix}\]

Vous ne me croyez pas ? Et bah voyez vous même, calculez MX, vous verrez que ça va vous sortir un vecteur avec la somme de chaque ligne (on va l'appeler S) à chaque fois. En d'autres termes, on a MX=SX, c'est-à-dire que S est valeur propre (et en prime on a le vecteur propre qui va bien, et vous pourrez voir tout à l'heure que c'est du luxe !).

Regarder la transposée

Bon cette astuce ne va pas chercher très loin mais il est bon de savoir que $\(M\)$ et $\({}^tM\)$ ont le même spectre.
Par exemple si jamais vous trouvez que la somme des éléments...