Master Parcours Mathématiques Appliquées spécialité Modélisation, calcul scientifique.

• Environnement Unix/Linux
• Langage C ou Fortran 90
• Développement de programmes pour la résolution de problèmes numériques de difficulté croissante, application à l’intégration d’équations différentielles modélisant des systèmes mécaniques et des phénomènes physiques
• Développement d’un programme comprenant plusieurs modules

Ce cours est mutualisé avec le M1 Mécanique.

1 cours à choisir parmi Algorithme de base (6 ECTS)

24h de cours, 24h de TD

Responsable : Lionel Fourquaux

Autre intervenant : Christophe Chabot

• Numérique : représentation des entiers, des réels; quatre opérations; (algorithmes de calculs de fonctions transcendantes); algorithme d’Euclide (entiers et polynômes)
• Multiplication multiprécision (Schoolbook, Karatsuba, Tom-Cook, transformation de Fourier rapide)
• Méthode de Newton et application (racine carrée, inversion)
• Algorithmes de tri, graphes
• Notions de complexité

Dynamique des structures poutres (6 ECTS)

18h de cours, 18h de TD, 12h de TP

• Dynamique des poutres
• Rappel de déformation d'un milieu continu
• Hypothèses cinématiques et équations d'équilibre (à partir des milieux continus).
• Ondes et vibrations dans les cordes: vibrations libres, vibrations forcées, analyse modale, condition
• d'orthogonalité.
• Puissance des déformations et variables conjuguées des poutres.
• Ondes et vibrations de flexion des poutres droites: Modèle de Timoshenko, modèle d'Euler-Bernoulli, vibrations libres, vibrations forcées, analyse modale, orthogonalité des modes propres.
• Ondes et vibrations des poutres courbes.
• Ondes élastiques tridimensionnelles dans les poutres
• Mise en évidence des ondes : ondes longitudinales, ondes de cisaillement décomposition de Helmholtz
• Amortissement visqueux des poutres : Discrétisation par le Principe des puissances virtuelles, décomposition dans une base modale
• Applications aux arbres.

Ce cours est mutualisé avec le M1 Mécanique.

Équations différentielles et phénomènes de transport (6 ECTS)

24h de cours, 24h de TD

• Équations différentielles (rappels et compléments) : théorème de Cauchy-
  Lipschitz, flot d’un champ de vecteurs, méthodes numériques
• Introduction aux équations aux dérivées partielles et aux modèles fondamentaux.
• Équations de transport: méthode des caractéristiques, invariants, systèmes
  à coefficients constants.
• Approximation par la méthode des différences finies : consistance, ordre,
  stabilité, théorème d’équivalence de Lax, analyse de vonNeumann.

Second semestre Cours obligatoires Modélisation et simulation numérique de phénomènes physiques ; logiciel Matlab (9 ECTS)

36h de cours, 48h de TD/TP

• Introduction aux modèles fondamentaux : stationnaires (équation de Laplace), propagatifs (transport, ondes), diffusifs (chaleur)
• L’équation de Laplace en dimension 2 : formulation variationnelle pour différents problèmes aux limites, utilisation du théorème de Lax-Milgram, méthode des éléments finis
• L’équation de transport en dimension 1 d’espace : méthode des caractéristiques, différences finies

Recherche opérationnelle (6 ECTS)

24h de cours, 24h de TD

• Éléments de programmation linéaire : optimisation linéaire, dualité, résolution du problème de programmation linéaire
• Éléments de la théorie des graphes : représentation, plus court chemin
• Réseaux et programmation linéaire : le problème de transbordement, algorithme fini du simplexe pour les réseaux, problème de transport
• Flot sur un réseau de transport : flot maximum, flot à coût minimum
• Arbres optimaux.

Savoir-faire :

• Reconnaître et modéliser un problème d’optimisation dans diverses situations.
• Choisir la bonne méthode pour le résoudre.

Langues vivantes : anglais, allemand ou espagnol (3 ECTS)

L'enseignement des langues (Allemand, Anglais, Espagnol) est organisé par le SCELVA. Il est annuel mais compte pour le second semestre. Pour plus de précisions et en particulier pour connaître les conditions d'assiduité il est nécessaire de s'adresser au SCELVA.

1 cours à choisir parmi Mécanique des fluides (6 ECTS)

24h de cours, 24h de TD, 12h de TP

Fondements : Rappels de Mécanique classique, différences fluide versus solide, hypothèse de milieu continu, modélisation des efforts, vecteur contrainte, tenseur des contraintes, calcul indiciel et tenseur d'ordre 2. Cinématique : Description lagrangienne et eulérienne d'un écoulement, volume matériel et volume de contrôle, dérivée particulaire, trajectoire, ligne de courant, décomposition du gradient du champ des vitesses et analyse du mouvement relatif. Dynamique : Conservation de la masse, de la quantité de mouvement. Modèle du fluide Newtonien : Loi de comportement, Navier-Stokes, Navier et Euler,conditions aux limites cinématiques sur une paroi et sur une interface entre deux fluides non-miscibles. Mécanique des fluides pour l'ingénieur : Théorème de Bernoulli, d'Euler, conservation des débits. Analyse dimensionnelle et similitude : Observables, quantités physiques et dimension, Théorème de Vaschy-Buckingham.

Ce cours est mutualisé avec le L3 mécanique.

Outils informatiques pour le calcul (6 ECTS)

20h de cours, de 20h TD, 20h de TP

Rappels de logique. Description de l'exécution d'une instruction. Notion de sous-programme. Gestion de la mémoire. Structure de données. Manipulation de fichiers. Création de l'exécutable. Méthodologie : analyse du problème, choix d'un algorithme, programmation, test de validation. Syntaxe de base: nombre, vecteurs, matrices et opérations élémentaires; les boucles "for" et les instructions conditionnelles "if". Graphiques simples: courbes et histogrammes. Calcul matriciel: valeurs et vecteurs propres, diagonalisation, factorisations LU et de Cholesky. Résolution de systèmes linéaires : méthodes directes et itératives. Simulations: nombres au hasard, marche au hasard sur un damier, aiguille de Buffon virtuelle ou comment perdre du temps en calculant mal par Scilab la valeur bien connue de Pi (3,1415925...). Langage C, scilab.

Ce cours est mutualisé avec le L3.

Stage Projet ou stage (6 ECTS) Intitulé des cours Programme du cours

OMCAO - Outils mathématiques pour la CAO

(Semestre 1, 6 ECTS,
Cours 24h, TD 24h)

• Cas d'une variable : courbes de Bézier, B-splines, courbes splines et algorithmes associés; applications diverses: interpolation, approximation.
• Cas de deux variables :
  • Polynômes sur des rectangles (produit tensoriel) ou des triangles ; représentation dans la base de Bernstein; interpolation, éléments finis, erreur d'interpolation.
  • Splines définies comme produit tensoriel de splines à une variable.
  • Splines polynomiales par morceaux triangulaires : construction de surfaces globalement de classe C1 par assemblage d'éléments finis de Hermite locaux.
• Ce cours est illustré par la mise en oeuvre (en Fortran ou en langage C) de certaines méthodes parmi celles qui sont exposées, en faisant largement appel à l'outil graphique. À cet effet, et afin de se familiariser avec une méthodologie couramment employée, le logiciel Matlab sera utilisé comme pré- et post-processeur des applications développées.

MMECA - Micromécanique des matériaux hétérogènes

(Semestre 1, 3 ECTS,
Cours 12h, TD 12h)

Introduction à la MicroMécanique des milieux continus polycristallins

• éléments d'élasticité linéaire anisotrope
• les défauts 1D,2D,3D dans les milieux cristallins
• incompatibilité et contraintes internes
• échelles d'observations, grandeurs locales et effectives, passages micro-macro
• opérateurs de Green ; équations intégrales
• problèmes non dynamiques d'inclusions pour les milieux désordonnés
• transformation de phase (Trip Steels, Matériaux à mémoire de forme)

Le cours comportera des applications sur Mathematica.

PROPA - Modélisation mathématique des phénomènes de propagation

(Semestre 1, 6 ECTS,
Cours 24h, TD 24h)

• Équations de Helmholtz et acoustique linéarisée :
  • origine du problème, principe d'amplitude limite,
  • équation de Helmholtz, condition de Sommerfeld.
• Les ondes électromagnétiques :
  • les équations de l'électromagnétisme,
  • les équations de Maxwell et les lois de comportement.
• Exemples :
  • guides d'ondes en milieu borné et non borné,
  • les mouvements d'un navire sur la houle.
• Résultats d'unicité et résultats d'existence : - équations d'ondes vérifiant la condition de rayonnement dans l'extérieur d'un domaine borné.

SNUME - Compléments sur les schémas numériques

(Semestre 1, 3 ECTS,
Cours 12h, TD 12h)

Quelques compléments sur les méthodes numériques de résolution des équations aux dérivées partielles.

Il s’agit d’un cours qui pourra aborder des thèmes parmi : formulations mixtes, méthode des volumes finis, équations intégrales, méthode multipôle,...

Programmation objet et langage C++

PROG1 - Les bases

(Semestre 1, 3 ECTS,
Cours 12h, TD 12h)

PROG2 - Compléments

(Semestre 2, 3 ECTS,
Cours 12h, TD 12h)

• Concepts de la programmation objet et mise en œuvre dans le langage C++
• Présentation de la bibliothèque standard STL
• Pratique par le biais d’un projet existant.

Savoir-faire : Programmation objet, Langage C++, Manipulation d’objets abstraits et leur insertion dans le cadre d’un projet existant.

Pratique de logiciels d'éléments finis

LOGEF1 - Partie 1

(Semestre 1, 3 ECTS,
Cours 12h, TD 12h)

LOGEF2 - Partie 2

(Semestre 2, 3 ECTS,
Cours 12h, TD 12h)

• Rappel sur la méthode des éléments finis
• Génération de maillages bidimensionnels et tridimensionnels
• Interpolation et choix des éléments
• Calculs élémentaires
• Assemblage et résolution de systèmes. Résolution de problèmes issus de la mécanique des fluides, de l’élasticité, de l’électromagnétisme, à l’aide de logiciels standard.

Savoir-faire : Connaissance de codes de calculs pour la résolution de problèmes d’équations aux dérivées partielles, manipulation de structures de données, utilisation adaptée de l’outil informatique dans le contexte de gros codes de calcul.

ENT - Introduction au monde des entreprises

(Semestre 1, 3 ECTS,
Cours 12h, TD 12h)

• Ressources humaines :
  • Apprentissage des technique de recherche d’un stage ou d’un premier emploi et application.
  • Réalisation d’un portefeuille de compétences et exploration de ses valeurs.
  • Élaboration d’outils individualisés et pertinents au regard du marché cible.
  • Construction de son réseau et accompagnement aux différents modes de communication.
  • Prospection d’une entreprise pour un stage dans la région rennaise, en France ou à l’étranger.
  • Simulation d’entretiens d’embauche.
• Entreprise starter kit :
  • Introduction à l’assurance qualité et la gestion de données.
  • Présentations, discussions et études de cas.
  • Illustration sur des exemples puisés dans l’expérience professionnelle.

BIOMEC - Modélisation mathématique en bio-mécanique

(Semestre 2, 3 ECTS,
Cours 12h, TD 12h)

Répondre à la question : comment modéliser mathématiquement le fonctionnement de certains tissus biologiques comme le muscle, les ligaments et les os ?

• Biomécanique des tissus biologiques.
• Propriétés mécaniques des tissus, densités et structures.
• Modèles non homogènes et anisotropes, viscoélasticité et effets mémoires.
• Adaptation mécanique des tissus biologique.
• Biomécanique du tissu musculaire.
• Comportements passif et actif.
• Modèles de Hodgkin-Huxley, modèles de Hill.

PREPAST - Projet de préparation au stage

(Semestre 2, 3 ECTS)

Préparation au stage en entreprise.

Ce projet a lieu au début du second semestre. Dès que le sujet de stage est trouvé, l'étudiant doit définir le contenu du projet en concertation avec le responsable du stage en entreprise et le responsable universitaire. Ce projet sera consitué de différents éléments:

• Recherche et étude bibliographique.
• Approfondissement des notions pertinentes pour le stage.
• Apprentissage et pratique de langages informatiques ou de logiciels utiles au stage.
• Résolution d'un problème de modélisation et de simulation numérique en relation avec le sujet de stage.
• Définition de 3 objectifs SMART du stage en concertation avec le responsable en entreprise.

L'évaluation s'effectue sur la base d'un rapport de projet et d'une présentation orale (15 à 20 mn d'exposé, 5 mn de questions et 5 mn de délibération) sur vidéo-projecteur avec nécessairement :

• le contenu du stage et ses objectifs,
• comment le stage a été obtenu,
• comment le contenu du projet a été défini et sa pertinence par rapport au sujet de stage,
• et bien sûr la synthèse du travail effectué au cours du projet.

L'objectif SMART est :

1. Spécifique : clair, compréhensible, sans ambiguïté, précis. Il doit décrire précisément la situation et les résultats attendus.
2. Mesurable : Comment mesure-t-on si l'objectif est atteint ? Éventuellement avec des degrés. Quels sont les indicateurs à utiliser ?
3. Accessible : dire pourquoi cet objectif est accessible et commeint il sera atteint. Sur quelles ressources s'appuyer pour le réaliser ? Quels seront les moyens mis en oeuvre ?
4. Réaliste : Il se rattache à un projet de l'entreprise, il s'insert dans un tout cohérent, il est pertinent par rapport à l'ensemble, il est significatif de la réussite du stage.
5. Temporellement défini : sa réalisation se fera sur quelle durée ? Début et fin avec des éventuelles échéances intermédiaires.

Pour chaque objectif, l'étudiant précisera en quoi il est spécifique, mesurable, accessible, réaliste, temporellement défini. Pour préciser un peu ces définitions, voici un même exemple écrit de manière flou et de manière SMART (Il n'est pas obligatoire de différencier R et A qui sont très proches):

• Exemple d'objectif non SMART : Je vais m'entraîner à la course à pieds (général, flou, non mesurable, non déterminé dans le temps).
• Exemple d'objectif SMART : Je vais suivre un programme d'entraînement au club d'athlétisme de ma ville pour pouvoir courir le 3000m en moins de 7mn dans 6 mois. Spécifique : courir le 3000m en moins de 7mn et non pas courir le prochain marathon de Paris d'un bout à l'autre. Mesurable : en chronométrant une course de 3000m et en comparant la durée à 7mn. Ateignable : je suis en bonne santé et le club d'athlétisme fournira l'encadrement pour un entraînement suivi. Limité dans le temps : 6 mois pour y parvenir.

Ces 3 objectifs pourront être aménagés en début de stage : il faudra alors expliquer les motivations de ces modifications et renvoyer les nouveaux objectifs au responsable universitaire.

Langues - anglais

(Semestre 2, 3 ECTS,
TD 30h)

Préparation au certificat en Langues CLES 2.
Plus de 2 absences injustifiées entraîne la note 0.

OFEDP - Outils fondamentaux pour les EDP et leur discrétisation

(Semestre 1, 12 ECTS,
Cours 48h)

Ce cours se décompose en deux parties : la première traite des problèmes elliptiques linéaires et non-linéaires et la deuxième des problèmes d’évolution et de leurs discrétisations.

REDIF - Systèmes de réaction-diffusion

(Semestre 2, 6 ECTS,
Cours 24h)

L’objectif du cours est de présenter divers aspects de l’analyse mathématique des équations d’évolution de type ”réaction-diffusion”, qui interviennent dans des domaines variés comme la chimie, la biologie, la dynamique des populations, la thermique, mais aussi la physique des plasmas, la cristallisation, la médecine, etc: Résumé.

LYAPU - Équations de Lyapunov généralisées et applications

(Semestre 2, 6 ECTS,
Cours 24h)