Master de mathématiques Mathématiques Fondamentales Mathématiques Fondamentales .Probabilités et Statistiques

Semestre 1

Il est fortement conseillé aux étudiants souhaitant passer l'agrégation à l'issue du master 1 de choisir le cours Probabilités de base.

2 cours à choisir parmi les cours de Base Analyse réelle et complexe de base (9 ECTS)

36h de cours, 36h de TD, 12h de TP

• Espaces de Hilbert; séries de Fourier
• Transformée de Fourier et trnasformée de Fourier-Laplace (y compris rappels sur l'intégration, la convolution, les espaces Lp,...)
• Fonctions analytiques d'une variable complexe
• En travaux pratiques : équation de la chaleur sur un intervalle et méthodes numériques associées; transformée de Fourier rapide, éventuellement ondelettes

Analyse fonctionnelle et distributions (9 ECTS)

36h de cours, 36h de TD

• Rappels sur les espaces vectoriels normés. Exemples classiques
• Dualité. Convergence faible (mais pas topologie faible !)
• Distributions
• Théorèmes de l'application ouverte, du graphe fermé, de Banach-Steinhaus
• Convexité : théorèmes de Hahn-Banach, points extrémaux, théorèmes de Choquet (en dimension finie éventuellement).
• Opérateurs (continus) compacts, de Hilbert-Schmidt,... dans un espace de Hilbert. Diagonalisation des opérateurs (continus) compacts auto-adjoints. Alternative de Fredholm.

Algèbre générale de base (9 ECTS)

36h de cours, 36h de TD, 12h de TP

• Rappels sur groupes, anneaux, corps, idéaux, anneaux quotients.
• Extensions de corps, corps de rupture, de décomposition; corpsfinis; corps algébriquement clos, existence d’une clôture algébrique.
• Théorie de Galois (jusqu’à la correspondance, pas d’"applications sérieuses").
• Algèbre linéaire: modules, sous-modules, quotients, familles libres, génératrices, bases.Cas des espaces vectoriels.
• Matrices. Opérations élémentaires. Forme réduite échelonnée par lignes (dans un corps), forme de Hermite (anneau euclidien); forme de Smith (anneaueuclidien).Application aux groupes abéliens de type fini et à la réduction des endomorphismes.

2 cours à choisir parmi Équations différentielles et phénomènes de transport (6 ECTS)

24h de cours, 24h de TD

• Équations différentielles (rappels et compléments) : théorème de Cauchy-
  Lipschitz, flot d’un champ de vecteurs, méthodes numériques
• Introduction aux équations aux dérivées partielles et aux modèles fondamentaux.
• Équations de transport: méthode des caractéristiques, invariants, systèmes
  à coefficients constants.
• Approximation par la méthode des différences finies : consistance, ordre,
  stabilité, théorème d’équivalence de Lax, analyse de vonNeumann.

Géométrie différentielles (6 ECTS)

24h de cours, 24h de TD

• Rappels de calcul différentiel (théorèmes des fonctions implicites et d’inversion
  locale en dimension finie)
• Sous-variétés de Rn : coordonnées locales, espace tangent
• Courbes paramétrées : abscisse curviligne, courbure, etc...; courbes planes : théorème de Jordan (cas C1)

Probabilités de base (6 ECTS)

24h de cours, 24h de TD, 12h de TP

• Espaces de probabilité, espérance...
• Variables aléatoires, lois, fonctions caractéristiques, indépendance.
• Convergences : dans Lp, presque sûre, en probabilité, en loi.
• Théorèmes limites : Loi forte des grands nombres, théorème limite central.
• Vecteurs gaussiens : théorème de Cochran, échantillons gaussiens.

Théorie des nombres (6 ECTS)

24h de cours, 24h de TD

Il s’agit d’un cours d’introduction, plus dans l’esprit des livres de HARDY–
WRIGHT ou de IRELAND–ROSEN ainsi que de celui de SAMUEL.

• Arithmétique dans les corps finis (réciprocité quadratique, Chevalley-Warning, etc...)
• Séries de Dirichlet et application au théorème des nombres premiers, théorème de la progression arithmétique
• Anneaux d’entiers des corps quadratiques : anneau des entiers de Gauss et sommes de deux (voire quatre) carrés; théorie de Gauss; équation de Pell-Fermat...

Semestre 2

L'étudiant, souhaitant à l'issue du master faire une thèse en mathématiques fondamentales, choisira ses cours du second semestre en fonction du parcours visé de la spécialité Mathématiques en master 2. Si de plus, l'étudiant souhaite passer l'agrégation de mathématiques à l'issue du master, il lui est conseillé de se diversifier et donc prendre un ou deux cours dans d'autres thématiques que le parcours visé de la spécialité Mathématiques.

L'étudiant faisant un master 1 dans l'optique de passer l'agrégation pour être professeur du secondaire a la possibilité de ne prendre que 2 cours du parcours Mathématiques fondamentales et de choisir un des cours du second semestre à 9 crédits du parcours Mathématiques appliquées et faire un projet correspondant (6 crédits) à la place du T.E.R..

4 cours à choisir parmi Équations aux dérivées partielles elliptiques (6 ECTS)

24h de cours, 24h de TD

• fonctions harmoniques, noyau de Poisson
• formulation variationnelle du problème de Dirichlet : espace H1, principe du maximum, hypoellipticité, ...
• méthodes numériques (éléments finis en dimension 1)

Fonctions spéciales et fonctions holomorphes (6 ECTS)

24h de cours, 24h de TD

• Suites et séries de fonctions holomorphes et méromorphes, fonctions Gamma, zêta de Riemann
• Développements asymptotiques (méthode de Laplace, de la phase stationnaire, du col); fonctiond’Airy
• Équations différentielles dans le plan complexe (théorie locale); théorie de Fuchs; fonctions de Bessel

Algèbre commutative et géométrie algébrique (6 ECTS)

24h de cours, 24h de TD

• Algèbres de polynômes : caractère factoriel, noethérien
• Résultant, élimination
• Idéaux monomiaux, lemme de Dixon, bases de Gröbner
• Théorème des zéros de Hilbert, correspondance algèbre - géométrie
• Application des bases de Gröbner à divers problèmes algorithmiques d’algèbre commutative
• Étude (au choix) de quelques variétés affines ou projectives.

Théorie des groupes et géométrie (6 ECTS)

24h de cours, 24h de TD

• Rappels sur les groupes et les actions de groupes
• Groupe linéaire, spécial linéaire sur un corps; familles de générateurs; drapeaux, décomposition LU, décomposition de Bruhat
• Formes bilinéaires et quadratiques; groupes orthogonaux et symplectiques
• Théorème de Cartan-Dieudonné
• Formes quadratiques sur R; compacité du groupe orthogonal; ses sous-groupes finis en dimension 3; décompositions de Cartan et d’Iwasawa
• Groupes linéaires sur un corps fini; simplicité; étude zoologique : utilisation des inversibles d’une sous-algèbre de matrices pour trouver des sous-groupes de Sylow - dans des tores maximaux ou des sous-groupes unipotents selon les cas
• Sous-groupes fermés (théorème de Cartan) et compacts du groupe linéaire

Topologie algébrique et géométrie riemannienne (6 ECTS)

24h de cours, 24h de TD

Le cours exposera un ou plusieurs thèmes parmi les suivants :

• Revêtements, groupe fondamental
• Variétés et leur cohomologie de De Rham, formule de Stokes
• (Co)homologie singulière
• Variétés riemanniennes (surfaces : theorema egregium), géodésiques,...
• Topologie différentielle

Logique, théorie des modèles, complexité (6 ECTS)

24h de cours, 24h de TD

• Théorie des modèles, théorème de compacité, théorèmes de complétude et d'incomplétude
• Complexité: automates finis, machines de Turing, classes P et NP

Le cours suivra essentiellement quelques chapitres du livre de Michael Sipser, Introduction to the Theory of Computation :

1. Automates finis, déterministes et non-déterministes. Langages réguliers, lemme de pompage.
2. Machines de Turing et leurs variantes, thèse de Church. Langages décidables, le problème d'arrêt.
3. Complexité classes P, NP NP-complétude

Statistique mathématique (6 ECTS)

24h de cours, 24h de TD

• Motivations à partir du schéma de Bernoulli : Espace statistique; Estimation ponctuelle du paramètre inconnu; Intervalle de confiance; Test d'hypothèses
• Rappels sur les différents modes de convergence : Convergences presque sûre, en probabilité, en loi; Fonctions de répartition, fonctions caractéristiques; Critères; Équi-intégrabilité; Convergences faible et étroite de mesures
• Autour de la loi gaussienne : Loi normale en dimension d, matrice de covariance; Test de centralité; Intervalle de confiance; Statistiques asymptotiquement normales; Modèle de regression linéaire
• Statistique non-paramétrique : Fonction de répartition empirique; Lemme de Glivenko-Cantelli, loi de Kolmogorov-Smirnov; Observations ordonnées; Test de Wilcoxon
• Fondements de la statistique mathématique : Espace statistique dominé; Familles paramétriques; Fonctions de perte et de risque, estimateurs uniformément optimaux; Exhaustivité; Complétude
• Théorie de l'estimation ponctuelle : Estimateurs ponctuels non-biaisés avec risque uniformément petit; Estimateur du maximum de vraisemblance; Estimateur baysien
• Éléments de la théorie des tests : Fondements; Hypothèses simples; test de Neyman-Pearson; Tests basés sur le rapport de densités; Optimalité

Chaînes de Markov et martingales (6 ECTS)

Les cours de statistique sont mutualisés avec le parcours recherche Statistique mathématique du master 2 Statistique, Économétrie destiné aux étudiants souhaitant faire par la suite une thèse en statistique.

Semestre 3 Processus en temps continu, statistique des processus (12 ECTS)

Statistique des Processus

Intervenant : Lionel Truquet

Étude approfondie des processus en temps continu

Intervenant : Ying Hu

Chaînes de Markov, systèmes dynamiques et théorie ergodique (12 ECTS)

Chaînes de Markov

La notion de chaîne de Markov recouvre un vaste ensemble de familles de variables aléatoires dépendantes qui sont indexées par un ensemble (partiellement) ordonné: le "temps" et prenant des valeurs dans un espace mesurable. Leur dépendance par rapport au "passé" est à courte portée.

Plusieurs exemples d'ensemble des états sont traités: espaces dénombrables finis ou infinis, espaces mesurables arbitraires, semi-groupoïdes et graphes orientés, etc. et plusieurs techniques sont abordées: méthodes spectrales, théorie du potentiel, méthodes de semi-martingales et de fonctions de Lyapunov. Des méthodes très récentes de semi-martingales pour l'étude du phénomène d'explosion pour des chaînes de Markov à temps continu sont abordées.

Finalement, quelques applications en physique (champs markoviens, chaînes de Markov quantiques) sont présentées.

Intervenant : Dimitri Petritis

Systèmes dynamiques et théorie ergodique

Ce cours est une introduction à la théorie ergodique et à ses applications en systèmes dynamiques. On cherchera à décrire certaines classes de systèmes dynamiques dont le comportement est à priori de type déterministe, mais dont l'étude fait appel à des outils de nature probabiliste.

La théorie des systèmes dynamiques cherche à décrire le comportement à long terme de systèmes qui évoluent au cours du temps. Ces systèmes peuvent être issus de la physique, de la biologie, ou provenir de problématiques plus spécifiques comme le climat ou l'étude des populations.

Lorsque le système adopte un comportement de nature chaotique, ou en tout cas imprévisible à long terme, il est parfois possible d'utiliser des méthodes issues de la théorie des probabilités, pour faire une description statistique de son évolution : plutôt que de chercher à calculer explicitement la position du système à un moment donné, on cherche à déterminer quelles sont les états les plus probables qu'il va visiter au cours de son mouvement.

Cette problématique, qui trouve son origine dans des considérations de physique statistique, possède des applications dans des domaines variés des mathématiques, comme l'algorithmique, la géométrie ou la théorie des groupes. On en décrira quelques-unes dans ce cours.

Plan du cours

Le théorème ergodique en moyenne
Le théorème ergodique presque sûr
La propriété de mélange
L'argument de Hopf
Quelques notions de Dynamique topologique
Conjugaison et isomorphisme
Linéarisation des systèmes dynamiques
Un attracteur étrange
Le concept d'entropie

Intervenant : Bachir Bekka

Estimation statistique (12 ECTS)

Estimation paramétrique

• Rappels sur les martingales et concepts de base de théorie ergodique pour l'étude des suites stationnaires.
• Présentation des grandes classes de modèles paramétriques utilisés en statistiques et des calculs de vraisemblances associés.
• Présentation des principes généraux de l'estimation par fonction d'estimation, par minimum de contraste et méthodes de moments.
• Loi des grands nombres uniforme, delta-method, et applications aux estimateurs: convergence presque sûre et normalité asymptotique.
• Approche complètement paramétrique: l'estimateur du maximum de vraisemblance. Borne de Cramer-Rao. Méthode bayésienne.
• Quelques calculs de seuils asymptotiques pour les tests paramétriques.
• Etudes de cas non-i.i.d.: Chaînes de Markov. Modèles de régression.

Bibliographie

A. Borovkov, Statistique mathématique, Mir, 1987

A. Monfort, Cours de statistique mathématique, Economica, 1997

A.W. Van der Vaat, Asymptotic statistics, Cambridge University Press, 1998

Intervenant : Nathalie Krell

Estimation non-paramétrique

• Propriétés asymptotiques de l'estimateur à noyau de la densité: convergence ponctuelle et convergence L1. Applications à l'estimation de la fonction de régression et au clustering.
• Tests de rangs et signes: tests de Wilcoxon, Mann-Whitney et Spearman.
• Apprentissage de la classification non supervisée: convergence de quelques régles de classification non paramétriques, minimisation du risque empirique.
• Introduction à la théorie de Vapnik-Chervonenkis.

Bibliographie

D. Bosq et J.P. Lecoutre, théorie de l'estimation fonctionnelle, Economica, 1987

L. Devroye et L. Gyorfi, Nonparametric density estimation: the L1 View, Wiley, 1985

L. Devroye et L. Gyorfi et G. Lugosi, A probabilistic theory of pattern recognition, springer, 1996

A.B. Tsybakov, Introduction à l'estimation non-paramétrique, Springer, 2004

Intervenants : Valentin Patilea et Marian Hristache

Semestre 4 Grandes déviations et applications (6 ECTS)

Grandes déviations

On présente les principes généraux des grandes déviations et ensuite les théorèmes remarquables.

• Théorèmes de Cramer et de Sanov pour des suites i.i.d.
• Principes de grandes déviations, de Varadhan, de contraction
• Théorèmes de Sanov et Gartner-Ellis pour des suites dépendantes

Applications

On étudie les applications classiques, mais récentes des grandes déviations pour des processus en milieux aléatoires (marches aléatoires, diffusion de la chaleur) ou pour des modèles issues de la physique statistique (polymères, interactions de diffusions), ou encore en statistique.

• Marche aléatoire de Sinai
• Équation parabolique d'Anderson
• Marche aléatoire auto-évitante
• Équation de McKean-Vlasov
• Modèle de Kuramoto
• Test d'optimalité

Intervenant : Mihai Gradinaru

Formalisme thermodynamique, analyse multifractale et récurrence en dynamique hyperbolique (6 ECTS)

• Formalisme thermodynamique : existence des états d'équilibre, mesures de Gibbs, principe variationnel, théorème de Ruelle-Perron-Frobenius.
• Analyse multifractale : introduction à la théorie de la dimension. Analyse multifractale des exposants de Lyapunov, des dimensions des mesures dans le cadre des applications de l'intervalle.
• Récurrence de Poincaré : Lemme de Kac, propriétés asymptotiques des temps de retour, loi de Poisson, relations avec la dimension des mesures.

Intervenant : Benoît Saussol

Statistique bayésienne - Fiabilité (6 ECTS)