LSTS - Mention Mathématiques

Licence professionnelle

À St Martin d'Hères

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Description

  • Typologie

    Licence pro

  • Lieu

    St martin d'hères

  • Durée

    1 An

Les sites et dates disponibles

Lieu

Date de début

St Martin d'Hères ((38) Isère)
Voir plan
Institut Fourier 100 Rue des Maths, BP 74, 38402

Date de début

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Le programme

Premier semestre
Parcours A
Algèbre I (15 ECTS)
I. Groupes.

  • Groupes, sous-groupes.
  • Centre, sous-groupe dérivé.
  • Sous-groupes distingués, groupes quotients.
  • Groupes opérant sur un ensemble, orbites, équation aux classes.
  • Le groupe symétrique, décomposition en cycles, classes de conjugaison, signature, groupe alterné, groupe dérivé du groupe symétrique, simplicité du groupe alterné.
  • Théorèmes de Sylow.

II. Anneaux.

  • Anneaux commutatifs, idéaux, anneaux quotients.
  • Anneaux intègres, divisibilité, éléments irréductibles, pgcd, ppcm, idéaux premiers.
  • Anneaux principaux.
  • Corps, idéaux maximaux.

III. Algèbre linéaire.

  • Espaces vectoriels quotients.
  • Dualité, base duale.
  • Application bilinéaire, lien avec la dualité, orthogonal.
  • Applications multilinéaires, multilinéaires alternées, déterminant, polynôme caractéristique.
  • Les groupes GLn(A) et SLn(A).
  • Polynômes d'endomorphisme, polynôme minimal, le lemme des noyaux, théorème de Cayley-Hamilton, sous-espaces caractéristiques, trigonalisation, réductions de Jordan et de Dunford.
  • Transvections et dilatations. Centres de GL(E) et SL(E), les transvections engendrent SL(E), les transvections et les dilatations engendrent GL(E).
  • Les groupes On(R) et SOn(R), le groupe On(R) est engendré par les symétries orthogonales.
  • Les groupes O2(R) et SO2(R), angles, le groupe SO3(R), le groupe des similitudes, réduction des endomorphismes normaux réels.
  • Topologie des espaces métriques (12 ECTS)

Ce cours a pour but d'introduire les notions topologiques nécessaires au calcul intégral et au calcul différentiel, ainsi qu'aux certificats de l'année de Master 1. On introduira aussi le vocabulaire de la topologie générale à travers l'étude des espaces métriques.
Deuxième semestre
Parcours A
Calcul différentiel et équations différentielles, applications (9 ECTS)
I. Calcul différentiel dans les espaces de Banach.

  • Différentielle, accroissements finis.
  • Différentielles d'ordre supérieur, lemme de Schwartz, formule de Taylor, extrêma.
  • Coordonnées sur Rn, dérivées partielles Théorème d'inversion locale et fonctions implicites, théorème du rang constant, extrêmas liés.
  • Sous-variétés de Rn et espace tangent (équivalence entre définitions), position d'une surface par rapport au plan tangent.

II. Équations différentielles.

  • Équation différentielle, champs de vecteurs.
  • Théorie de Cauchy-Lipschitz locale, lemme de Gronwall.
  • Complétude d'un champ de vecteurs, flot associé.
  • Équations linéaires, (exponentielle dans le cas constant, stabilité dans le cas constant, variation de la constante en général).
  • Exemples classiques (intégration par quadrature, pendule).
  • Courbes dans R3, caractérisation de Serret-Frenet.

Théorie de la mesure et de l'intégration (9 ECTS)
I. Tribus et ensembles mesurables.

  • Dénombrabilité
  • Espaces topologiques
  • Tribus
  • Applications mesurables

II. Mesures positives.

  • Définitions et premières propriétés
  • Classes monotones et unicité de la mesure de Lebesgue

III. Intégration par rapport à une mesure.

  • Intégration de fonctions positives
  • Fonctions intégrables
  • Intégrales dépendant d'un paramètre

IV. Construction de mesures.

  • Mesures extérieures
  • La mesure de Lebesgue
  • Liens entre intégrale de Lebesgue et intégrale de Riemann
  • Le théorème de représentation de Riesz

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