licence de mathématiques parcourss vers la recherche ou l'agregation

Licence

À Rennes

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Description

  • Typologie

    Licence

  • Lieu

    Rennes

  • Durée

    3 Ans

Les sites et dates disponibles

Lieu

Date de début

Rennes ((35) Ille-et-Vilaine)
Voir plan
Campus de Beaulieu 263 Avenue du Général Leclerc, Cs 74205 35042 Rennes Cédex, 35042

Date de début

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À propos de cette formation

Accès en première année (L1)

* de plein droit pour les titulaires du baccalauréat (de préférence bac S) ou équivalent.

Accès en deuxième année (L2)

* de plein droit pour les titulaires du L1 MIEE.
* sur avis de la commission pédagogique dans les autres cas.

Accès en troisième année (L3)

* de plein droit pour les titulaires du L2 MIEE.
* sur avis de la commission pédagogique dans les autres cas.

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Les Avis

Le programme

cours obligatoires Analyse 1. Fonctions Classiques (AN1)

Horaire : Cours 36h TD 36h


C'est un cours d'introduction à l'analyse. Les résultats théoriques énoncés sont admis. L'accent est mis sur l'utilisation de ces résultats.


1) Rapide introduction aux notions d'application, d'image, d'antécédent, d'injection, de bijection de surjection, de composition, de restriction, de prolongement, de parité, d'imparité, de périodicité.


2) Introduction élémentaire aux fonctions classiques : polynômes (et leur division euclidienne), fractions rationnelles, logarithme, exponentielle, fonctions trigonométriques et trigonométriques hyperboliques. Les exemples du cours seront construits à l'aide de ces fonctions.


3) Définitions heuristiques de la limite en un point d'une fonction, de la continuité et de la dérivabilité. Présentation de la dérivée comme pente de la tangente, comme limite du taux d'accroissement et à partir de l'approximation affine. Limites et infini. Propriétés algébriques des limites et des dérivées ; composition. Théorèmes des valeurs intermédiaires, des accroissements finis. Image d'un segment par une application continue. Monotonie. Recherche d'extrema. Branches infinies. Représentation graphique de fonctions.


4) Sommes de Riemann. Intégrale de Riemann et primitive d'une fonction continue. Quelques primitives classiques.
Intégration par partie. Changement de variable. Pas de théorie de la décomposition en éléments simples (quelques exemples par coefficients indéterminés). Application au calcul de longueurs et de surfaces simples.


5) Comparaison, ordres de grandeur. Développement de Taylor avec reste intégral. Application au calcul de limites.


6) Rappels sur les nombres complexes. Exponentielle complexe et applications à la trigonométrie. Equations différentielles à coefficients constants du premier et du second ordre. Au second ordre, un ou deux exercices avec un second membre simple. Illustrations avec l' oscillateur harmonique et la loi de Newton, les circuits RLC et les lois d'Ohm, Faraday, Ampère et de Kirchoff, la loi de Malthus en dynamique des populations et la loi de désintégration atomique de Rutherford et Soddy.

Algorithmique fonctionnelle (APF)

Responsable : Gilles Lesventes

Semestre 1 Cours TD TP Total Horaire 20h 20h 20h 60h

Crédits ECTS : 6

Unité d'enseignement offerte aux licences de Mathématique, Informatique, Electronique et Economie-statistique

Les systèmes informatiques sont présents dans tous les domaines de notre vie quotidienne mais un utilisateur, même averti, a en général peu de connaissances sur les concepts sous-jacents aux réalisations informatiques. L'enjeu de ce cours est de donner aux étudiants une première idée des concepts de base sur lesquels repose l'informatique.
Alors que le travail du physicien est de comprendre comment fonctionne le monde et non pas d'inventer un monde dans lequel les lois de la physique seraient plus simples et auxquelles il serait plus agréable de se conformer, celui de l'informaticien est de résoudre des problèmes du monde réel : ceci nécessite de les représenter par des objets abstraits (modèles ou structures de données) et de fournir un algorithme qui produit la solution au problème à partir de ces modèles de données. Il est de plus important que le traitement proposé par l'informaticien ait des propriétés de correction et de terminaison.

Dans ce cours nous introduisons différents modèles de données : entiers, listes, mais aussi mots et arbres. En parallèle, nous explorons les algorithmes manipulant ces modèles de données. Une méthodologie de construction de ces algorithmes est proposée qui, tout en étant simple, permet d'obtenir des algorithmes ayant les bonnes propriétés attendues. Cette méthodologie a pour objectif la conception de procédures récursives dans le cadre de la programmation fonctionnelle.

A l'issue de ce cours, l'auditeur sera à même de construire un modèle de données adapté au problème qui lui est posé, de construire une solution (de la spécification au codage) en suivant une méthode de construction et de preuve de correction simple.

Algèbre et arithmétique 1 (AR1)

Horaire : Cours 24h TD 24h

1. Nombres entiers et principe de récurrence.


2. Logique mathématique : propositions et connecteurs logiques (non, et, ou), utilisation des quantificateurs.


3. Opérations ensemblistes : ensemble et élément, sous-ensemble, ensemble des parties, intersection, réunion, produit. Famille et suite. Applications injectives, surjectives et bijectives. Ensembles finis, dénombrables et non dénombrables. Relation d'ordre partiel (exemples : divisibilité, inclusion), total (ordre sur N ou R). Notion de majorant, minorant, élément maximal, minimal, borne supérieure, inférieure.


4. Combinatoire. Dénombrements élémentaires.


5. Division euclidienne dans Z.


6. Nombres premiers, décomposition en facteurs premiers.


7. Congruences (relation d'équivalence, Z/nZ). Application à la cryptographie RSA.

Bureautique et préparation c2i (BUR)

Responsable : Ewa Kijak

Semestre 1 Cours TD TP Total Horaire 8h 16h 24h

Crédits ECTS : 3


Savoir : présentation des progiciels informatiques courant (tableurs, traitements de textes…) et préparation au c2i.
Savoir faire : utiliser les progiciels courant (tableurs, traitements de textes…) pour traiter et présenter l’information.

UE Projet Professionnel de l'Étudiant (PPE) cours obligatoires Algèbre linéaire 1 (AL1)

Lien vers le site consacré à l'enseignement d'algèbre linéaire 1

Horaire : Cours 36h TD 36h

Matrices à coefficients réels et complexes. Addition de matrices, produit de matrices, puissance d'une matrice carrée (quelques calculs simples par récurrence).

Manipulation des signes sommes, des indices.

Vecteurs dans le plan, dans l'espace (R3), dans R^n. Equations de droites dans le plan, de droites et plans dans l'espace : obtention d'une description paramétrique à partir d'équations et inversement. Hyperplans. Systèmes linéaires (avec ou sans second membre) ; signification géométrique (intersection de deux plans de R3).

Ecriture matricielle, résolution par la méthode du pivot. Nombreux exemples.

Introduction des définitions standards (sous-espace vectoriel, combinaison linéaire, famille génératrice, famille libre, famille liée, base, base canonique de R^n, sous-espace engendré) permettant de décrire l'ensemble des solutions d'un système linéaire. Savoir extraire une base d'une famille génératrice.

La multiplication par une matrice définit une application linéaire, les colonnes correspondent aux images des vecteurs de la base canonique, l'image au sous-espace qu'elles engendrent ; le noyau correspond aux solutions du système linéaire correspondant, l'image aux second membre pour lesquels le système linéaire possède une solution.
Composition des applications linéaires et produit de matrices, inverse d'une matrice. En exercice, utilisation de quelques décompositions LU pour simplifier la résolution d'un système linéaire.

Fonctionnement des ordinateurs (FOR)

Responsable : Philippe Ingels

Semestre 2 Cours TD TP Total Horaire 20h 20h 20h 60h

Crédits ECTS : 6

Ce module s’intéresse à la fois à la conception, l’écriture et l’exécution d’algorithmes «impératifs» (utilisant des variables et la séquentialité) dont la structure reste simple.
En ce qui concerne le langage, on y voit les notions de types, de variables, d’instructions conditionnelle et itérative, de fonction. La méthode de conception est centrée sur les propriétés des états de mémoire : invariant d’itération, pré et post conditions pour les fonctions.


Pour l’exécution des algorithmes, on présente d’une part la notion de mémoire et des éléments sur la représentation des entiers et caractères en mémoire, d’autre part un processeur virtuel (jeux d’instructions, cycle d’exécution) et les schémas de traduction des structures de contrôle classiques sur ce processeur.
En fin de module l’étudiant doit savoir, face à un problème posé :

  • identifier un schéma d’algorithme correspondant à un traitement de suite récurrente, de séquence, de chaîne de caractères, ou un parcours de tableau ;
  • énoncer l’invariant de l’itération permettant de résoudre le problème ;
  • construire l’algorithme, le coder dans un sous-ensemble du langage Java et le mettre au point.

Analyse 2. Suites et séries (AN2)

Horaire : Cours 24h TD 24h



1. Définition d'une suite ; nombreux exemples : suites arithmétiques, géométriques, puissances de n, les séries qu'on peut faire avec, itération d'une fonction ; dichotomie et fausse position. Suites croissantes, décroissantes, monotones. Suites extraites, en particulier les sous-suites des termes pairs et impairs.


2. Limites de suites (avec les epsilon). Propriétés de stabilité : somme, produit, quotient, composition avec une fonction continue. Si la suite des termes pairs et celle des termes impairs convergent et ont même limite, la suite converge vers cette limite. Axiome : toute suite croissante et majorée est convergente. Suites adjacentes.


3. Exemple: Suites récurrentes définies par l'itération d'une fonction continue f qui est croissante ou décroissante. Exemple: Suite arithmético-géométrique.


4. Séries. Définitions : série, somme partielle, reste. (Définition d'une série absolument convergente; on ne sait pas encore qu'elle converge.) Somme de deux séries. Exemples : série géométrique, série de Riemann (comparaison série-intégrale explicite). Séries alternées.


5. Etude de séries à termes positifs par comparaison à des séries connues.


6. La convergence absolue entraîne la convergence. Application: convergence par comparaison à une série à termes positifs connue.


7. Application : étude de la convergence d'une suite via la série des différences successives. Application: convergence de la suite définie par itération de f vers l'unique point fixe de f lorsque f est contractante; majoration du reste.

Langues

L'enseignement des langues est organisé par le SCELVA. Il est annuel mais compte pour le semestre 2 en L1 et le semestre 4 en L2. Une partie de cet enseignement est en auto-formation.

Pour plus de précisions et en particulier pour connaître les conditions d'assiduité il est nécessaire de s'adresser au SCELVA.

Sport, deuxième langue, Culture Générale

Dans cette option vous devez choisir entre Sport, une deuxième langue, ou un enseignement de culture générale pris dans une liste qui vous sera proposée ultérieurement.

Bien que l'on en tienne compte administrativement au deuxième semestre de l'année (S2 ou S4), le sport et la deuxième langue sont des enseignements annuels qui commencent donc dès le début de l'année. Les enseignements de culture générale ne se feront qu'au deuxième semestre et le choix précis se fera au moment de l'inscription aux semestre pairs (S2 ou S4).

1 cours à choisir parmi 4 Géométrie en petite dimension (GPD)

Horaire : Cours 24h TD 24h



Plan réel affine. Droites du plan, triangles, parallélogrammes.

Repère affine. Barycentre. Plan vectoriel. Base, repère.

Composantes, coordonnées. Symétries et projections.

Matrices 2 x 2. Transformations affines.

Distance, norme, produit scalaire, orthogonalité.

Cercles. Isométries. Rotations. Angle. Coniques.

Le plan complexe. Application des complexes à des problèmes de géométrie plane, similitudes.

Introduction à la géométrie dans l'espace. Produit vectoriel.

Physique 2 (PH2)

Horaire : Cours 19,5h TD 18h TP 22,5h


Il s’agit dans la partie électricité d’introduire des notions essentielles en électricité (que l’on rencontre dans la vie de tous les jours), telles que les lois du courant continu avec les relations courant tension, puis les lois du courant alternatif avec les notions de grandeurs efficaces et d’impédance complexe pour terminer sur l’exemple du circuit résonant.
Dans la partie mécanique, dans la suite de ce qui aura été vu au premier semestre, on effectuera un parallèle avec les circuits électriques pour introduire les oscillateurs mécaniques (oscillations libres, forcées, amorties). On abordera ensuite les notions de quantité de mouvement puis de moment cinétique pour terminer sur le mouvement d’une particule dans un champ de force central (exemple du mouvement des planètes).

Mécanique 2 (MEC2)

Horaire : Cours 24h TD 24h TP 6h

Nous étudions les éléments de modélisation relatifs à la statique et mouvement d'un corps, par exemple :
- l'équilibre d'un solide soumis à des efforts (cadre, poutre, grue, automobile, ....)
- les mouvements d'objets variés (navire, planète, roue, pendule composé,...)
et d'autres applications sont possibles (mécanique du sport par exemple).
Ces éléments permettent une bonne symbiose avec l'application et une meilleure maîtrise des connaissances en en géométrie et analyse : c'est un lien entre l'écriture mathématique et notre expérience des objets qui nous entourent.
Une découverte aux calculs pour l'ingénieur par l'assistance du progiciel Mathematica est proposée en TP.

Entreprise et marchés (MAR) Semestre 3

S3 Vers la licence SENA (professeur des écoles) Vers le capes Vers le métier d'ingénieur Vers la recherche
ou
l'agrégation UE13 Fonctions de plusieurs variables UE14 Outils informatiques pour les mathématiques UE15 Probabilités 1 Analyse 3 UE16 Algèbre et arithmétique 2 Algèbre et arithmétique 2
ou
Mécanique 3
ou
Physique 3
ou
Micro-Economie 2 Algèbre et arithmétique 2 UE17 Algèbre linéaire 2 surnuméraire Algèbre bilinéaire Semestre 4

S4 Vers la licence SENA (professeur des écoles) Vers le capes Vers le métier d'ingénieur Vers la recherche
ou
l'agrégation UE18 Géométrie en petite dimension
ou
Mécanique 2
ou
Physique 2
ou
Entreprise et marchés Analyse 4 UE19 Équations différentielles 1 UE20 Épistémologie 1
ou
Algèbre et arithmétique 3 Algèbre et arithmétique 3
ou
Méthodes numériques en analyse
ou
Probabilités 2 Algèbre et arithmétique 3
ou
Méthodes numériques en analyse
ou
Probabilités 2
ou
Mécanique 4
ou
Physique 4 Algèbre et arithmétique 3 UE21 Didactique 1 Probabilités 2
ou
Méthodes numériques en analyse UE22 Langue UE23 Option surnuméraire Suites et séries de fonctions Semestre 5
  • Algèbre linéaire numérique (6 crédits)
  • Anneaux et arithmétique (6 crédits)
  • Intégration et probabilités (6 crédits)
  • Théorie des groupes (6 crédits)
  • Topologie générale (6 crédits)
Semestre 6
  • Calcul différentiel et fonctions holomorphes (6 crédits)
  • Équations différentielles 2 (6 crédits)
  • Espaces vectoriels normés (6 crédits)
  • Intégrale de Lebesgue et analyse de Fourier (6 crédits)
  • Mathématiques générales 2 ou Mathématiques et multimedia (3 crédits)
  • Allemand, Anglais ou Espagnol (3 crédits)

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