Fonctions linéaires et proportionnalité

Le contenu du document I - Définition Propriété Soit a, un nombre connu et donné. Quand on associe à chaque nombre x le produit ax , alors on a une fonction linéaire de coefficient a . Elle peut être notée de deux façons : f(x) = a ou bien f :x ax On dit ainsi que ax est l'image de x . Exemple : Les fonctions f(x) = 2 x , g : x 4,5 x ou encore h(x) = - 2,5 x sont des fonctions linéaires. Par contre les fonctions : f : x 4,5 x + 2 ou g(x) = 6,5 x -3 ou encore h : x 5 x ² ne sont pas des fonctions linéaires. Remarque importante : Si f est une fonction linéaire de coefficient a, on a toujours : f (0) = 0 et f (1) = a car on a toujours : f (0) = a × 0 = 0 et f( 1) = a × 1 = a . Méthode pour déterminer une fonction linéaire en sachant son nombre et son image : Sachant que f( 2) = 5,4, trouver la fonction linéaire. On sait que f(x) = ax , donc f (2) = 2 a = 5,4. Il suffit donc de résoudre l'équation 2 a = 5,4 c'est-à-dire a = 5,4 ÷ 2 = 2,7. Ainsi, le coefficient a de la fonction linéaire f est 2,7. On peut donc en conclure f(x) = 2,7x. II - Fonction linéaire et proportionnalité Propriété Les fonctions linéaires peuvent retranscrire des situations de proportionnalité. Leur coefficient est en fait le coefficient de proportionnalité. Exemple : On prend l'exemple d'une proportion entre le côté et le périmètre d'un carré. Côté 2 8 6,5 10 X Périmètre 8 32 26 40 4x Le périmètre d'un carré est proportionnel à la longueur de ses côtés. En effet, pour calculer le périmètre d'un carré il suffit de multiplier la longueur d'un côté par 4 puisque les 4 côtés sont égaux. A chaque longueur du côté x , on peut associer le périmètre f(x) qui est en fait : f(x) = 4 x 4 est ainsi le coefficient de proportionnalité en plus d'être le coefficient de la fonction linéaire. III - Représentation graphique d'une fonction linéaire Propriété Soit a un nombre connu. La représentation graphique de la fonction linéaire f : x ax dans un repère orthonormé est en fait la droite d'équation y = ax . Cette droite passe par l'origine du repère, et a est le coefficient directeur de cette droite. Exemple : Essayons maintenant de tracer la représentation graphique de la fonction linéaire f : x 3 x . Si x = 1 alors on obtient f( 1) = 3 × 1 = 3 Selon la propriété, la représentation graphique de la fonction linéaire f est une droite qui passe par l'origine du repère et par le point de coordonnées (1,3). IV - L'application aux pourcentages Propriété Pour augmenter un nombre de n%, il faut le multiplier par 1 + (n/100) Pour diminuer un nombre de n%, il faut le multiplier par 1 - (n/100) Exemple : Un article coûte x €, son prix est augmenté de 13%. Le prix après augmentation, que l'on note f , est proportionnel au prix initial. f(x) = x + 13/100 x = x (1 + 13/100) = x × 1,13 = 1,13 x on en conclut donc que f(x)= 1,13 x Fin de l'extrait

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