Analyse et calcul matriciel

Contenu

1 Généralités sur les séries numériques

• Suites numériques : rappels.
• Séries numériques : définitions et exemples (Série géométrique) ; convergence absolue ; critères de convergence pour séries à termes positifs (règle de D'Alembert, règle de Cauchy, etc.) ; Critères de convergence pour séries à termes quelconques (Séries alternées, Règle d'Abel, etc.).

• Séries entières, disque de convergence, fonctions analytiques, développement en série entière des fonctions usuelles, application à la résolution de certaines équations différentielles.

• Fonctions périodiques, séries trigonométriques, coefficients de Fourier, Séries de Fourier, Théorème de Jordan-Dirichlet, Formule de Bessel-Parseval.

• Espaces L^1 et L^2 ; Transformée de Fourier ; Transformée de Fourier inverse ; propriétés de la Transformée de Fourier (Dilatation, Retard, Translation, Symétrie) ; Transformée de Fourier et dérivation ; formule de Bessel-Parseval ; Convolution.

• Matrices à coefficients réels (et éventuellement complexes), opérations sur les matrices.
• Déterminant, matrices inversibles. (On insistera sur la vision géométrique du déterminant et des matrices inversibles: le déterminant est une forme volume, les matrices inversibles conservent les parallélogrammes, les parallélépipèdes,...Le calcul du déterminant ne sera présenté qu'en dimension 2 et 3. Les considérations numériques pourront être évoquées pour justifier la nécessité de développer des outils de calcul scientifique performants.)
• Valeurs propres, vecteurs propres, multiplicité des valeurs propres, diagonalisation.
• Application au calcul des puissances d'une matrice et aux exponentielles de matrices. Exemple en mécanique: matrice d'inertie.

• Résolution des systèmes différentiels linéaires du premier ordre à coefficients constants par la transformation de Laplace ou en utilisant la notion d'exponentielle de matrice. A ce sujet on introduira rapidement la transformée de Laplace.

Bibliographie

• THUILLIER, BELLOC : Mathématiques analyse 3 (Masson)
• GRIFONE : Algèbre linéaire (Editions CEPADUES)
• Laurent Schwarz : Méthodes mathématiques de la physique. Cet ouvrage est hors de portée a priori. Il est indiqué car il constitue une référence fondamentale pour les applications de l'analyse en physique.