Master 1 Recherche Mention Mathématiques

Langues

Crédits ECTS : 5

Analyse fonctionnelle

Crédits ECTS : 5

Espaces métriques : complétude, compacité et conséquences.

Espaces vectoriels normés : Applications linéaires, Théorèmes de Hahn-Banach, Théorème de Banach-Steinhaus, théorèmes de l'application ouverte et du graphe fermé.

Espaces de Hilbert : Théorème de projection sur un convexe fermé non vide, dualité, supplémentaire topologique, théorèmes de Stampacchia et de Lax-Milgram, bases hilbertiennes, convergence faible et conséquences.

Espace L^p : séparabilité, convolution, régularisation, densité, dualité et compacité.

Théorie des groupes

Crédits ECTS : 5

Produits directs et semi-directs.

Groupes opérant sur un ensemble et conjugaison.

Théorèmes de Sylow. Groupes symétriques et alternés.

Groupes dérivés, groupes simples et groupes résolubles.

Structure des groupes abéliens de type fini

Probabilités

Crédits ECTS : 5

Construction de mesures de probabilités. Pi-systèmes, lambda-systèmes et th. De Dynkin. Théorème de Carathéodory. Probabilités sur l'espace symbolique, sur l'espace euclidien.

Variables et vecteurs aléatoires, indépendance. Loi 0-1 de Kolmogorv et de Hewitt-Savage.

Mesure positives et bornées, transformée de Fourier des mesures, théorème de Levy, théorème limite centrale. Espérance conditionnelle. Probabilité conditionnelle. Martingales et sous-martingales. Temps d'arrêt, convergence presque sûre (Théorème de Doob), inégalité des montées, convergence presque sure des martingales, loi des grands nombres, inégalité maximale de Doob.

Distributions

Crédits ECTS : 5

Eléments sur la notion de distributions (dérivée faible, convergence de suites de distribution, ordre, support).

Notion de distributions tempérées et calcul de transformées de Fourier.

Espaces de Sobolev (hilbertiens) et applications.

Equation aux dérivées partielles, classification de Hadamard, propriétés qualitatives (équation de Laplace, des ondes, de la chaleur).

Théorie de Galois et application à la théorie des nombres

Crédits ECTS : 5

Extensions séparables, théorème de l'élément primitif.

Extensions normales, extensions galoisiennes, groupes de Galois.

Théorèmes de Galois en dimension finie.

Groupe de Galois d'un polynôme et extensions par radicaux.

Anneaux d'entiers de corps de nombres.

Corps quadratiques et corps cyclotomiques.

Groupe des unités, théorème de Dirichlet.

Décomposition d'un nombre premier.

Optimisation

Crédits ECTS : 5

Minimisation sans contrainte : descente par balayage et marches aléatoires sur un graphe.

Énergie convexe : algorithmes de gradient, de gradient conjugué, algorithme GMRES.

Cas non convexe : algorithmes probabilistes (W-Sat, algorithmes génétiques, recuit simulé, ...). Minimisation avec contraintes : multiplicateurs de Lagrange, dualité, méthodes de projection, de pénalisation.

Cryptographie

Crédits ECTS : 5

UE optionnelle d'une autre spécialité du master

Projet individuel encadré

Crédits ECTS : 5

Le projet individuel encadré est un stage d'un mois au LAMFA (ou dans un autre laboratoire de recherche, éventuellement à l'étranger, ou en entreprise) qui sera validé par le biais d'un mémoire et d'une soutenance orale devant jury. Ce projet individuel encadré peut être effectué à temps plein pendant un mois, ou à temps partiel tout au long du S2. Pour ce projet individuel l'étudiant bénéficiera d'un encadrant au sein du LAMFA CNRS UMR 6140.

Analyse de Fourier

Crédits ECTS : 5

Séries de Fourier. Lemme de Riemann Lebesgue.

Théorèmes de convergence uniforme et au sens des moindres carrés.

Transformation de Fourier d'une fonction intégrable sur IR ou IR^N. Formule d'inversion.

Produit de convolution. Théorie L^2 et espace de Schwarz. Formules de Plancherel et Parseval. Fonctions à spectre borné. Règle d'échantillonnage de Shannon.

Analyse approfondie

Crédits ECTS : 5

Compacité dans les espaces de Banach : Théorème de Riesz, Théorème d'Ascoli.

Topologie faible et faible * : Théorèmes de Banach-Aloaglu-Bourbaki et de Kakutani

et applications aux espaces fonctionnels.

Convexité, uniforme convexité, réflexivité et leurs conséquences.

Opérateurs compacts : Alternative de Fredholm, spectre d'un opérateur compact, diagonalisation d'un opérateur compact, auto-adjoint sur un espace de Hilbert (exemple : équations intégrales de type Fredholm et Volterra).

Modélisation et analyse numérique

Crédits ECTS : 5

Rappel sur la discrétisation par différences finies d'équations aux dérivées partielles.

Exemple : Laplace, convection, chaleur.

Analyse de la méthode des éléments finis pour les équations aux dérivées partielles.

Eléments finis P1. estimation d'erreur.

Introduction à la mise en œuvre numérique. Assemblage

La moitié des TD se font avec passage sur machine.

Modélisation aléatoire

Crédits ECTS : 5

Processus aléatoires. Lois. Théorème de Kolmogorov. Classification des processus.

Chaînes de Markov. Théorème de Perron-Frobenius. Equations de Chapman-Kolmogorov. Récurrence et transience, fonction de Green, théorème de Polya. Propriété de Markov forte. Etats stationnaire et théorème de convergence. Chaînes de Markov réversibles.

Simulations. Nombres aléatoires et pseudo-aléatoires. Simulation de variables et de chaînes de Markov. Applications en biologie, en sciences de l'information et en management de ressources. La moitié des TD se font avec passage sur machine

Groupes et géométrie

Crédits ECTS : 5

Formes quadratiques et hermitiennes.

Géométrie des groupes classiques.

Théorème de Witt.

Topologie algébrique

Crédits ECTS : 5

Compléments de topologie : structures topologiques, axiomes de séparation, applications continues, homéomorphismes, compacité, connexité et connexité par arcs, topologie quotient, identification et recollement, variétés topologiques.

Groupe fondamental: homotopie des chemins et groupe fondamental, cas du cercle, espaces simplement connexes, groupe fondamental de la n-sphère, d'un groupe topologique, rétract par déformation et théorème de Brouwer, théorème de Van Kampen et applications, revêtements.

Représentation de groupes

Crédits ECTS : 5

Représentations linéaires, irréductibilité.

Induction, restriction.

Algèbre d'un groupe fini.

Applications à la structure des groupes finis.

Codes correcteurs

Crédits ECTS : 5

Codes linéaires. Distance de Hamming, matrice de contrôle, matrice génératrice, code dual, syndrome. Quelques codes particuliers (code isotope, code de Hamming). Borne de Varshamov-Gilbert, identité de Mac-Williams.

Théorie de l'information de Shannon; le théorème de Shannon, entropie d'une source d'information, capacité d'un canal.

Codes cycliques. Polynômes cyclotomiques sur F_2. Matrice génératrice, de contrôle, syndrome pour un code cyclique. Utilisation et construction des idempotents pour un code cyclique par l'automorphisme de Frobenius. Code BCH, distance de ce code, décodage. Reed Salomon, Reed Muller, codes de résidus quadratiques. Designs, codes parfaits. Code de Golay, réseau de Leech. Code de Kerdock

Ue optionnelle d'une autre spécialité du master