Le nombre d'or

Introduction du cours

De tous les sujets portant sur l'étude des mathématiques, le nombre d'or est sans doute l'un des plus connus. Parce qu'on connait sa valeur et son expression algébrique et qu'on sait démontrer sa présence dans les différents domaines où il intervient, ce nombre n'a cessé d'attiser la curiosité de nombreuses personnes.

Mais pourquoi étudier un seul nombre ?

C'est vrai ça, pourquoi se concentrer sur un nombre en particulier ? D'ailleurs, qu'est-ce que ce nombre a de si particulier pour qu'on lui consacre à lui seul, un tutoriel entier ? Vous le savez sans doute, il existe des nombres qui possèdent des caractéristiques que les autres n'ont pas, par exemple : le nombre $\(\pi\)$ (qui se prononce "pi") permet de calculer le périmètre d'un cercle et le nombre $\(\textrm{e}\)$ est utilisé lorsque l'on calcule le logarithme népérien. Mais à quoi peut bien servir le nombre d'or sinon que de rendre les mathématiques plus compliquées qu'elles ne le sont déjà ? Je ne vais pas vous dévoiler tout le contenu de ce mini tutoriel, mais sachez que ce nombre a inspiré aussi bien les mathématiciens que les artistes : peintres, sculpteurs, architectes, etc.

Quels sont les pré-requis ?

• Savoir résoudre une équation du second degré.

• Savoir ce qu'est une suite arithmétique et géométrique.

• Savoir ce qu'est une limite et comment la calculer.

Une personne ayant suivi un cours de mathématiques en Première au lycée français ou en cinquième secondaire en Belgique (ou tout autre équivalent dans un autre pays) devrait pouvoir s'en sortir.
(Étant donné que ces pré-requis sont normalement vus entre 16 et 17 ans).

À qui ce tutoriel est-il destiné ?

À tous ceux et celles qui souhaitent apprendre quelque chose de nouveau.

Êtes-vous fin prêts à résoudre toutes les énigmes qui vous attendent ?

Le nombre d'or, quésaco ?

Bon, mais commençons par le début (il faut bien un début à tout), qu'est-ce que le nombre d'or ? D'où vient-il ? Quelle est sa valeur ?
(On ne peut pas étudier quelque chose si on ne connait pas d'abord sa définition).

Selon le mathématicien Euclide (-325 à -265), le nombre d'or serait issu du "partage en extrême et moyenne raison" d'un segment autrement dit, il s'agirait d'une "proportion" (un rapport entre deux nombres).

Mais que veut dire ce partage en extrême et moyenne raison et de quels nombres s'agirait-il ?
Dans le livre VI des Éléments, Euclide définit géométriquement le partage en extrême et moyenne raison comme suit.

Citation

Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison lorsque la droite totale est au plus grand segment ce que le plus grand segment est au plus petit.

Le mot raison, qui vient du mot latin ratio, a été mal traduit. Il signifie : le rapport entre quelque chose et non la raison. Dans ce contexte-ci, le mot droite désigne un segment.
On peut donc en déduire ceci : deux nombres sont dits être dans le rapport du nombre d'or, si le tout par rapport au plus grand est comme le plus grand par rapport au plus petit. Pour illustrer cette phrase, rien de tel qu'un schéma :

Ceci est appelé la "section d'or" (ou "section dorée") et parfois même le "segment d'or". Dans ce cas-ci, le nombre d'or n'est qu'un rapport entre deux grandeurs.

Si l'on prend le tout : $\(a + b\)$, par rapport au plus grand : $\(a\)$, on obtient : $\(\frac{a + b}{a}\)$. Ce rapport est égal au plus grand : $\(a\)$, par rapport au plus petit : $\(b\)$, on obtient :  $\(\frac{a}{b}\)$.

Le rapport du nombre d'or est égal à :  $\(\frac{a + b}{a} = \frac{a}{b}\)$.

Comment connaît-on la valeur du nombre d'or si l'on ne connait ni "a" ni "b" ?

Bonne question, mais je vais vous demander un peu de patience... La réponse à cette question, je la réserve pour la partie suivante.

Ne soyez pas déçu, je préfère ne pas vous frustrer en déballant toute une démonstration mathématique dès la première partie. En contrepartie, je vais vous dévoiler la valeur du nombre d'or...

Le nombre d'or est un nombre irrationnel qui est égal à :  $\(1,618033988...\)$

Pour plus de lisibilité, on arrondira ce nombre à 3 chiffres après la virgule, c'est-à-dire : 1,618...

Maintenant que nous avons sa valeur, que diriez-vous d'une petite énigme ? :-°

Que se passerait-il (d'après vous), si je vous demandais d'insérer dans votre calculatrice, le nombre d'or multiplié par lui même (autrement dit, le carré du nombre d'or) ?
Et si, au contraire vous divisiez une unité par le nombre d'or (autrement dit, l'inverse du nombre d'or) ?

Essayez un peu... Que constatez-vous ? o_O

Si l'on multiplie le nombre d'or par lui-même, on obtient : 2,618. Le nombre d'or augmenté d'une unité !
Si l'on divise une unité par le nombre d'or, on obtient : 0,618. Le nombre d'or diminué d'une unité !

Il y a sûrement une explication mathématique derrière tout ça... Mais laquelle ?
Je promets de vous l'expliquer dans la partie suivante (promis, juré, craché ;) ).

Existe-t-il un symbole pour représenter le nombre d'or ?

Rassurez-vous, il y en a un. Par convention, on représente le nombre d'or par la lettre grecque : $\(\varphi\)$  ("phi").

Dans l'alphabet grec, on peut écrire les lettres en minuscule, en majuscule et en capitale. La lettre $\(\varphi \)$ (ou $\(\phi\)$) est la lettre "phi" en minuscule et la lettre $\(\Phi\)$  est la lettre "phi" en capitale.
Afin de ne pas mélanger les différentes écritures, on se contentera d'écrire les lettres grecques en minuscule. Mais si un jour, vous rencontrez la lettre "phi" en capitale, vous saurez que c'est exactement la même chose, certains préfèrent l'écrire en minuscule d'autres en capitale.

Il ne faut pas confondre le nombre "phi" avec le nombre "pi".
Le nombre "phi" désigne bien le nombre d'or : 1,618... Alors que le nombre "pi" désigne le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre : 3,141...
("phi" et "pi" ont tous deux des décimales qui sont infinies et qui ne se répètent jamais).

Mais pourquoi "phi" et pas une autre lettre ?

P-h-i sont les premières lettres de "Phidias", un célèbre sculpteur grec de l'Antiquité.

Phidias (-490 à -430) fut chargé par Périclès de la réalisation des sculptures du Parthénon. Parmi celles-ci, on compte notamment la sculpture chryséléphantine (en or et en ivoire) d'Athéna-Parthénos qui fut sculptée selon la proportion du nombre d'or. Si Phidias choisit le nombre d'or comme proportion idéale pour sa statue, ce n'est pas le fruit du hasard. D'autres artistes (dont Léonard de Vinci) se sont basés sur ce nombre afin de réaliser leurs œuvres.

Propriétés algébriques

Que diriez-vous de voir les caractéristiques algébriques de ce nombre ?

Équation caractéristique du nombre d'or

Dans le chapitre précédent, nous avons vu la valeur du nombre d'or sans avoir vu comment on la calcule.
Comme promis, nous allons maintenant terminer le calcul que nous avions commencé. La question était donc :

Comment connaît-on la valeur du nombre d'or si l'on ne connait ni "a" ni "b" ?

En fait, il faut multiplier l'équation par $\(\frac{a}{b}\)$ pour obtenir la valeur du nombre d'or.
Pour ceux et/ou celles qui ont (déjà) oublié de quelle équation on parlait, la voici : $\(\frac{a + b}{a} = \frac{a}{b}\)$
On multiplie donc les deux membres : $\(\frac{a + b}{a}.\frac{a}{b} = \frac{a}{b}.\frac{a}{b}\)$
On obtient : $\(\frac{a}{b} + 1 = (\frac{a}{b})^2\)$
On met tout dans le même membre : $\((\frac{a}{b})^2- \frac{a}{b} - 1 = 0\)$

Il ne reste plus qu'à la résoudre comme une équation du second degré. Pour plus de facilités, on peut remplacer $\(\frac{a}{b}\)$ par $\(x\)$, ce qui donne : $\(x^{2} - x - 1 = 0\)$ 

$\(\Delta = -1^2 - 4.1.-1 = 5\)$

$\(x_{1} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1,618 033 988 ...\)$

$\(x_{2} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = -0,618 033 988 ...\)$

Remarque : le discriminant (delta) étant positif, il y a deux solutions possibles mais sachant que l'on cherche la valeur du nombre d'or, il n'est pas possible que celui-ci soit négatif. Parce qu'il s'agit dans la définition d'Euclide d'un rapport de longueurs et que l'on sait qu'une proportion ne peut être négative, le nombre d'or est donc l'unique solution positive de cette équation.

Cette équation est surnommée l'équation caractéristique du nombre d'or. La solution négative de cette équation est appelée le conjugué du nombre d'or, on le note souvent comme ceci : $\(\overline{\varphi}\)$

Carré et inverse du nombre d'or et de son conjugué

Vous vous souvenez que nous avions remarqué que le carré du nombre d'or était égal à lui-même plus une unité et que l'inverse du nombre d'or était égal à lui-même moins une unité ? Eh bien avec l'équation que nous venons de trouver, cela s'explique maintenant très simplement !

À l'aide de l'équation caractéristique (du nombre d'or), il nous est maintenant possible de trouver le carré du nombre d'or.

Commencez par remplacer les $\(x\)$ de cette équation par le nombre d'or, on obtient : $\(\varphi^2 - \varphi - 1 = 0\)$

Isolez le carré : $\(\varphi^2 = \varphi + 1 \Leftrightarrow 1,618 + 1 = 2,618\)$

Pour obtenir le carré du nombre d'or, il suffit d'ajouter une unité au nombre d'or.

Divisez les deux membres par le nombre d'or, on obtient : $\(\varphi = 1 + \frac{1}{\varphi}\)$ 

Isolez l'inverse : $\(\frac{1}{\varphi} = \varphi - 1 \Leftrightarrow 1,618 - 1 = 0,618\)$

Pour obtenir l'inverse du nombre d'or, il suffit de soustraire une unité au nombre d'or.

Maintenant que vous avez compris le principe, que diriez-vous de multiplier le conjugué du nombre d'or par lui même (autrement dit, le carré du conjugué).
Et si, au contraire vous divisiez une unité par le conjugué du nombre d'or (autrement dit, l'inverse du conjugué) ?

Essayez un peu... Faîtes le lien entre ce que vous obtenez et ce que nous avons vu ci-dessus.

$\((-0,618)^2 \approx 0,382 = -0,618 + 1\)$

Pour obtenir le carré du conjugué du nombre d'or, il suffit d'ajouter une unité au conjugué du nombre d'or.

$\(-\frac{1}{0,618} \approx -1,618 = -0,618 - 1\)$

Pour obtenir l'inverse du conjugué du nombre d'or, il suffit de soustraire une unité au conjugué du nombre d'or.

Le nombre d'or et son conjugué sont les seuls nombres qui, lorsqu'on leur ajoute une unité deviennent leur carré, et, lorsqu'on leur soustrait une unité deviennent leur inverse.

Opposé de l'inverse du nombre d'or et de son conjugué

Mais quelle est la différence entre l'opposé et l'inverse d'un nombre ?

L'opposé d'un nombre est ce même nombre avec un signe opposé.
L'inverse d'un nombre est ce même nombre placé au dénominateur et dont le numérateur vaut une unité.

L'opposé de l'inverse du nombre d'or veut tout simplement dire : $\(-\frac{1}{\varphi}\)$ 

Changez le signe du deuxième membre de l'égalité donnant l'inverse :

$\(-\frac{1}{\varphi} = -\varphi + 1 \Leftrightarrow -1,618 + 1 = -0,618\)$

Pour obtenir l'opposé de l'inverse du nombre d'or, il suffit d'ajouter une unité à l'opposé du nombre d'or.

Que se passerait-il si on calculait l'opposé de l'inverse du conjugué du nombre d'or ?

$\(-\frac{1}{0,618} \Leftrightarrow -(-0,618) + 1 = 1,618\)$

Pour obtenir l'opposé de l'inverse du conjugué du nombre d'or, il suffit d'ajouter une unité à l'opposé du conjugué du nombre d'or.

Avez-vous remarqué que l'opposé de l'inverse du nombre d'or est égal au conjugué du nombre d'or (et inversement) ? o_O

Puissances du nombre d'or et de son conjugué

Multipliez l'égalité donnant le carré du nombre d'or par le nombre d'or :

$\(\varphi^2.\varphi = (\varphi + 1).\varphi = \varphi^3 = \varphi^2 + \varphi\)$

(N'oubliez pas que lorsque l'on multiplie un membre d'une équation par un nombre, il faut multiplier le deuxième membre par ce nombre).

Si on continue, on obtient :

$\(\varphi^4 = \varphi^3 + \varphi^2\)$$\(\varphi^5 = \varphi^4 + \varphi^3\)$$\(\varphi^6 = \varphi^5 + \varphi^4\)$

Une puissance quelconque du nombre d'or est égale à la somme des deux puissances précédentes.

Avez-vous remarqué que :

 $\(\varphi^3 = \varphi^2 + \varphi = (\varphi + 1) + \varphi = 2.\varphi + 1\)$ 
 $\(\varphi^4 = \varphi^3 + \varphi^2 = (2.\varphi + 1) + (\varphi + 1) = 3.\varphi + 2\)$ 
 $\(\varphi^5 = \varphi^4 + \varphi^3 = (3.\varphi + 2) + (2.\varphi + 1) = 5.\varphi + 3\)$ 
$\(\varphi^6 = \varphi^5 + \varphi^4 = (5.\varphi + 3) + (3.\varphi + 2) = 8.\varphi + 5\)$

Les égalités qui résultent de la simplification des puissances du nombre d'or seront vues plus en détails dans les prochains chapitres.

Que se passerait-il si on calculait les puissances du conjugué du nombre d'or ?

$\(\overline{\varphi}^3 = \overline{\varphi}^2 + \overline{\varphi} = (\overline{\varphi} + 1) + \overline{\varphi} = 2.\overline{\varphi} + 1\)$
\(\overline{\varphi}^4 = \overline{\varphi}^3 + \overline{\varphi}^2 = (2.\overline{\varphi} + 1) + (\overline{\varphi} + 1) = 3.\overline{\varphi} + 2\) 
\(\overline{\varphi}^5 = \overline{\varphi}^4 + \overline{\varphi}^3 = (3.\overline{\varphi} + 2) + (2.\overline{\varphi} + 1) = 5.\overline{\varphi} + 3\)\(\overline{\varphi}^6 = \overline{\varphi}^5 + \overline{\varphi}^4 = (5.\overline{\varphi} + 3) + (3.\overline{\varphi} + 2) = 8.\overline{\varphi} + 5\) 

Avez-vous remarqué que la façon d'obtenir les puissances du conjugué du nombre d'or est semblable à la façon d'obtenir les puissances du nombre d'or ?

Décomposition du nombre d'or en racine continue

Si l'on part du carré du nombre d'or, il est possible de décomposer le nombre d'or en une racine continue (qui ne s'arrête jamais).

Dans cette équation, il suffit de prendre la racine de chaque membre, on obtient : $\(\varphi = \sqrt{\varphi + 1}\)$

Pour plus de facilités, on intervertit ce qu'il y a dans le deuxième membre : $\(\varphi = \sqrt{1 +...