Master de mathématiques Mathématiques fondamentales Algèbre et Géométrie

2 cours à choisir parmi les cours de Base Analyse réelle et complexe de base (9 ECTS)

36h de cours, 36h de TD, 12h de TP

• Espaces de Hilbert; séries de Fourier
• Transformée de Fourier et trnasformée de Fourier-Laplace (y compris rappels sur l'intégration, la convolution, les espaces Lp,...)
• Fonctions analytiques d'une variable complexe
• En travaux pratiques : équation de la chaleur sur un intervalle et méthodes numériques associées; transformée de Fourier rapide, éventuellement ondelettes

Analyse fonctionnelle et distributions (9 ECTS)

36h de cours, 36h de TD

• Rappels sur les espaces vectoriels normés. Exemples classiques
• Dualité. Convergence faible (mais pas topologie faible !)
• Distributions
• Théorèmes de l'application ouverte, du graphe fermé, de Banach-Steinhaus
• Convexité : théorèmes de Hahn-Banach, points extrémaux, théorèmes de Choquet (en dimension finie éventuellement).
• Opérateurs (continus) compacts, de Hilbert-Schmidt,... dans un espace de Hilbert. Diagonalisation des opérateurs (continus) compacts auto-adjoints. Alternative de Fredholm.

Algèbre générale de base (9 ECTS)

36h de cours, 36h de TD, 12h de TP

• Rappels sur groupes, anneaux, corps, idéaux, anneaux quotients.
• Extensions de corps, corps de rupture, de décomposition; corpsfinis; corps algébriquement clos, existence d’une clôture algébrique.
• Théorie de Galois (jusqu’à la correspondance, pas d’"applications sérieuses").
• Algèbre linéaire: modules, sous-modules, quotients, familles libres, génératrices, bases.Cas des espaces vectoriels.
• Matrices. Opérations élémentaires. Forme réduite échelonnée par lignes (dans un corps), forme de Hermite (anneau euclidien); forme de Smith (anneaueuclidien).Application aux groupes abéliens de type fini et à la réduction des endomorphismes.

2 cours à choisir parmi Équations différentielles et phénomènes de transport (6 ECTS)

24h de cours, 24h de TD

• Équations différentielles (rappels et compléments) : théorème de Cauchy-
  Lipschitz, flot d’un champ de vecteurs, méthodes numériques
• Introduction aux équations aux dérivées partielles et aux modèles fondamentaux.
• Équations de transport: méthode des caractéristiques, invariants, systèmes
  à coefficients constants.
• Approximation par la méthode des différences finies : consistance, ordre,
  stabilité, théorème d’équivalence de Lax, analyse de vonNeumann.

Géométrie différentielles (6 ECTS)

24h de cours, 24h de TD

• Rappels de calcul différentiel (théorèmes des fonctions implicites et d’inversion
  locale en dimension finie)
• Sous-variétés de Rn : coordonnées locales, espace tangent
• Courbes paramétrées : abscisse curviligne, courbure, etc...; courbes planes : théorème de Jordan (cas C1)

Probabilités de base (6 ECTS)

24h de cours, 24h de TD, 12h de TP

• Espaces de probabilité, espérance...
• Variables aléatoires, lois, fonctions caractéristiques, indépendance.
• Convergences : dans Lp, presque sûre, en probabilité, en loi.
• Théorèmes limites : Loi forte des grands nombres, théorème limite central.
• Vecteurs gaussiens : théorème de Cochran, échantillons gaussiens.

Théorie des nombres (6 ECTS)

24h de cours, 24h de TD

Il s’agit d’un cours d’introduction, plus dans l’esprit des livres de HARDY–
WRIGHT ou de IRELAND–ROSEN ainsi que de celui de SAMUEL.

• Arithmétique dans les corps finis (réciprocité quadratique, Chevalley-Warning, etc...)
• Séries de Dirichlet et application au théorème des nombres premiers, théorème de la progression arithmétique
• Anneaux d’entiers des corps quadratiques : anneau des entiers de Gauss et sommes de deux (voire quatre) carrés; théorie de Gauss; équation de Pell-Fermat...

Semestre 2

L'étudiant, souhaitant à l'issue du master faire une thèse en mathématiques fondamentales, choisira ses cours du second semestre en fonction du parcours visé de la spécialité Mathématiques en master 2. Si de plus, l'étudiant souhaite passer l'agrégation de mathématiques à l'issue du master, il lui est conseillé de se diversifier et donc prendre un ou deux cours dans d'autres thématiques que le parcours visé de la spécialité Mathématiques.

L'étudiant faisant un master 1 dans l'optique de passer l'agrégation pour être professeur du secondaire a la possibilité de ne prendre que 2 cours du parcours Mathématiques fondamentales et de choisir un des cours du second semestre à 9 crédits du parcours Mathématiques appliquées et faire un projet correspondant (6 crédits) à la place du T.E.R..

4 cours à choisir parmi Équations aux dérivées partielles elliptiques (6 ECTS)

24h de cours, 24h de TD

• fonctions harmoniques, noyau de Poisson
• formulation variationnelle du problème de Dirichlet : espace H1, principe du maximum, hypoellipticité, ...
• méthodes numériques (éléments finis en dimension 1)

Fonctions spéciales et fonctions holomorphes (6 ECTS)

24h de cours, 24h de TD

• Suites et séries de fonctions holomorphes et méromorphes, fonctions Gamma, zêta de Riemann
• Développements asymptotiques (méthode de Laplace, de la phase stationnaire, du col); fonctiond’Airy
• Équations différentielles dans le plan complexe (théorie locale); théorie de Fuchs; fonctions de Bessel

Algèbre commutative et géométrie algébrique (6 ECTS)

24h de cours, 24h de TD

• Algèbres de polynômes : caractère factoriel, noethérien
• Résultant, élimination
• Idéaux monomiaux, lemme de Dixon, bases de Gröbner
• Théorème des zéros de Hilbert, correspondance algèbre - géométrie
• Application des bases de Gröbner à divers problèmes algorithmiques d’algèbre commutative
• Étude (au choix) de quelques variétés affines ou projectives.

Théorie des groupes et géométrie (6 ECTS)

24h de cours, 24h de TD

• Rappels sur les groupes et les actions de groupes
• Groupe linéaire, spécial linéaire sur un corps; familles de générateurs; drapeaux, décomposition LU, décomposition de Bruhat
• Formes bilinéaires et quadratiques; groupes orthogonaux et symplectiques
• Théorème de Cartan-Dieudonné
• Formes quadratiques sur R; compacité du groupe orthogonal; ses sous-groupes finis en dimension 3; décompositions de Cartan et d’Iwasawa
• Groupes linéaires sur un corps fini; simplicité; étude zoologique : utilisation des inversibles d’une sous-algèbre de matrices pour trouver des sous-groupes de Sylow - dans des tores maximaux ou des sous-groupes unipotents selon les cas
• Sous-groupes fermés (théorème de Cartan) et compacts du groupe linéaire

Topologie algébrique et géométrie riemannienne (6 ECTS)

24h de cours, 24h de TD

Le cours exposera un ou plusieurs thèmes parmi les suivants :

• Revêtements, groupe fondamental
• Variétés et leur cohomologie de De Rham, formule de Stokes
• (Co)homologie singulière
• Variétés riemanniennes (surfaces : theorema egregium), géodésiques,...
• Topologie différentielle

Logique, théorie des modèles, complexité (6 ECTS)

24h de cours, 24h de TD

• Théorie des modèles, théorème de compacité, théorèmes de complétude et d'incomplétude
• Complexité: automates finis, machines de Turing, classes P et NP

Le cours suivra essentiellement quelques chapitres du livre de Michael Sipser, Introduction to the Theory of Computation :

1. Automates finis, déterministes et non-déterministes. Langages réguliers, lemme de pompage.
2. Machines de Turing et leurs variantes, thèse de Church. Langages décidables, le problème d'arrêt.
3. Complexité classes P, NP NP-complétude

Statistique mathématique (6 ECTS)

24h de cours, 24h de TD

• Motivations à partir du schéma de Bernoulli : Espace statistique; Estimation ponctuelle du paramètre inconnu; Intervalle de confiance; Test d'hypothèses
• Rappels sur les différents modes de convergence : Convergences presque sûre, en probabilité, en loi; Fonctions de répartition, fonctions caractéristiques; Critères; Équi-intégrabilité; Convergences faible et étroite de mesures
• Autour de la loi gaussienne : Loi normale en dimension d, matrice de covariance; Test de centralité; Intervalle de confiance; Statistiques asymptotiquement normales; Modèle de regression linéaire
• Statistique non-paramétrique : Fonction de répartition empirique; Lemme de Glivenko-Cantelli, loi de Kolmogorov-Smirnov; Observations ordonnées; Test de Wilcoxon
• Fondements de la statistique mathématique : Espace statistique dominé; Familles paramétriques; Fonctions de perte et de risque, estimateurs uniformément optimaux; Exhaustivité; Complétude
• Théorie de l'estimation ponctuelle : Estimateurs ponctuels non-biaisés avec risque uniformément petit; Estimateur du maximum de vraisemblance; Estimateur baysien
• Éléments de la théorie des tests : Fondements; Hypothèses simples; test de Neyman-Pearson; Tests basés sur le rapport de densités; Optimalité

Chaînes de Markov et martingales (6 ECTS) Semestre 3 Introduction à la géométrie algébrique (12 ECTS)

La géométrie algébrique étudie les objets géométriques définis par
l'annulation d'un ou plusieurs polynômes (vous en avez bien sûr déjà
croisés dans votre vie : coniques, quadriques, groupes linéaires..).
Nous introduirons les notions et outils de base de la discipline :
variétés affines et projectives, dimension, lissité, éclatements,
diviseurs, voire cohomologie des faisceaux si le temps le permet.
Nous les illustrerons abondamment à l'aide de deux familles spécifiques
d'exemples : d'une part les courbes algébriques (les coniques en font
partie ; nous étudierons en particulier les courbes elliptiques qui
peuvent être munies d'une loi de groupe), d'autre part les variétés
toriques, dont la géométrie se décrit agréablement en termes de données de
nature "discrète".

Bibliographie

Brendan Hassett "Introduction to algebraic geometry", Cambridge University Press.
William Fulton "Algebraic curves", .edu/~wfulton/CurveBook.pdf
Daniel Perrin "Géométrie algébrique : une introduction", Savoirs Actuels, CNRS éditions.
William Fulton "Introduction to toric varieties", Annals of Mathematics Studies 131, Princeton University Press.

Intervenant : David Bourqui

Systèmes intégrables (12 ECTS)

Ce cours, à cheval sur la géométrie et l'analyse, propose une initiation aux systèmes hamiltoniens complètement intégrables.

La géométrie hamiltonienne est un formalisme extrêmement pratique pour étudier certains types de systèmes dynamiques, en particulier ceux qui proviennent de la mécanique classique.

Les systèmes intégrables sont ceux qui, possédant un grand nombre d'intégrales premières, sont les plus "faciles" à résoudre. La théorie des systèmes intégrables permet également d'explorer les systèmes "proches" des systèmes intégrables (comme dans les fameux théorèmes "KAM").

Plan du cours

1. Notions de géométrie différentielle, variétés espaces tangents, formes différentielles, géométrie symplectique, champs de vecteurs hamiltoniens, systèmes intégrables à la Liouville.
2. Le théorème des coordonnées actions-angles (Liouville-Mineur-Arnold). Actions hamiltoniennes de tores, linéarisation. Cas torique, polytopes moment, lien avec les matrices hermitiennes.
3. Forme normale de Birkhoff. Problème de la convergence.
4. Théorie KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser) des perturbations des systèmes intégrables.

Intervenants : Guy Casale et San Vu Ngoc

Classification de Nielsen-Thurston - Quelques applications de l'algèbre différentielle en géométrie

1. Classification de Nielsen-Thurston et ses applications

intervenants: Serge Cantat et Bert Wiest

2. Quelques applications de l'algèbre différentielle en géométrie

Dans ce cours, nous introduirons le langage des schémas et développerons des bases d’algèbre différentielle, afin de montrer, sur quelques exemples, comment l’« adjonction de dérivations »en géométrie algébrique a permis d’améliorer la compréhension de problèmes géométriques.

Ce cours suivra la progression suivante :

1. introduction au langage des catégories ;
2. introduction au langage des schémas ;
3. généralités d’algèbre différentielle ;
4. introduction aux dérivations localement nilpotentes ;
5. applications géométriques.

intervenant: Julien Sebag

Semestre 4 Flot géodésique, fractions continues et familles de surfaces (6 ECTS)

(période : mars et avril)

Une étude des surfaces à petits carreaux illustrée de nombreux exemples permettra de se familiariser avec différentes notions comme l’espace de Teichmüller, les espaces de modules, la compactification de Deligne-Mumford, les fibrés vectoriels, les connexions, les revêtements ramifies, la monodromie, les flots, les cocycles, le théorème ergodique...

Partie I.

• L’espace des réseaux SL(2,R)/SL(2,Z) vu comme une famille de tores plats. L'espace de tores plats SO(2,R)\SL(2,R) vu comme un plan hypererbolique.
• Géodésiques sur le plan hyperbolique et fractions continues.
• Surfaces plates; surfaces à petits carreaux; revêtements ramifiés du tore. Groupe de Veech. Orbites de SL(2,R).
• Cycles sur une surface; l'homologie d'une surface. Fibré vectoriel. Formes holomorphes. Différentielles quadratiques.

Partie II.

• Notion d’un cocycle. Théorème ergodique multiplicatif. Exposants de Lyapunov. Exposants de Lyapunov pour les surfaces à petits carreaux.
• Classes caractéristiques.
• Théorème de Riemann-Roch.
• Dégénérescence des surfaces de Riemann. Courbes stables.

Intervenant: Anton Zorich

Trous noirs et méthodes géométriques en relativité générale (6 ECTS)

Le cours commencera par des bases de géométrie (connexions, courbures, identités de Bianchi, équations d'Einstein), pour aborder ensuite une description générale de la géométrie Lorentzienne basée d'abord sur le cas simple de l'espace-temps de Minkowski avant de décrire le cas courbe. On étudiera alors les deux exemples fondamentaux de solutions de type trou noir des équations d'Einstein: les métriques de Schwarzschild et de Kerr. La notion de compactification conforme sera définie, illustrée sur les exemples de géométrie considérés jusqu'alors dans le cours, puis utilisée pour obtenir par des méthodes géométriques des résultats asymptotiques de propagation d'ondes.

Intervenant: Jean-Philippe Nicolas

Croissance des groupes discrets d'isométries en géométrie hyperbolique plane (6 ECTS)