Master de mathématiqueParcours Mathématiques fondamentales Analyse et Applications

2 cours à choisir parmi les cours de Base Analyse réelle et complexe de base (9 ECTS)

36h de cours, 36h de TD, 12h de TP

• Espaces de Hilbert; séries de Fourier
• Transformée de Fourier et trnasformée de Fourier-Laplace (y compris rappels sur l'intégration, la convolution, les espaces Lp,...)
• Fonctions analytiques d'une variable complexe
• En travaux pratiques : équation de la chaleur sur un intervalle et méthodes numériques associées; transformée de Fourier rapide, éventuellement ondelettes

Analyse fonctionnelle et distributions (9 ECTS)

36h de cours, 36h de TD

• Rappels sur les espaces vectoriels normés. Exemples classiques
• Dualité. Convergence faible (mais pas topologie faible !)
• Distributions
• Théorèmes de l'application ouverte, du graphe fermé, de Banach-Steinhaus
• Convexité : théorèmes de Hahn-Banach, points extrémaux, théorèmes de Choquet (en dimension finie éventuellement).
• Opérateurs (continus) compacts, de Hilbert-Schmidt,... dans un espace de Hilbert. Diagonalisation des opérateurs (continus) compacts auto-adjoints. Alternative de Fredholm.

Algèbre générale de base (9 ECTS)

36h de cours, 36h de TD, 12h de TP

• Rappels sur groupes, anneaux, corps, idéaux, anneaux quotients.
• Extensions de corps, corps de rupture, de décomposition; corpsfinis; corps algébriquement clos, existence d’une clôture algébrique.
• Théorie de Galois (jusqu’à la correspondance, pas d’"applications sérieuses").
• Algèbre linéaire: modules, sous-modules, quotients, familles libres, génératrices, bases.Cas des espaces vectoriels.
• Matrices. Opérations élémentaires. Forme réduite échelonnée par lignes (dans un corps), forme de Hermite (anneau euclidien); forme de Smith (anneaueuclidien).Application aux groupes abéliens de type fini et à la réduction des endomorphismes.

2 cours à choisir parmi Équations différentielles et phénomènes de transport (6 ECTS)

24h de cours, 24h de TD

• Équations différentielles (rappels et compléments) : théorème de Cauchy-
  Lipschitz, flot d’un champ de vecteurs, méthodes numériques
• Introduction aux équations aux dérivées partielles et aux modèles fondamentaux.
• Équations de transport: méthode des caractéristiques, invariants, systèmes
  à coefficients constants.
• Approximation par la méthode des différences finies : consistance, ordre,
  stabilité, théorème d’équivalence de Lax, analyse de vonNeumann.

Géométrie différentielles (6 ECTS)

24h de cours, 24h de TD

• Rappels de calcul différentiel (théorèmes des fonctions implicites et d’inversion
  locale en dimension finie)
• Sous-variétés de Rn : coordonnées locales, espace tangent
• Courbes paramétrées : abscisse curviligne, courbure, etc...; courbes planes : théorème de Jordan (cas C1)

Probabilités de base (6 ECTS)

24h de cours, 24h de TD, 12h de TP

• Espaces de probabilité, espérance...
• Variables aléatoires, lois, fonctions caractéristiques, indépendance.
• Convergences : dans Lp, presque sûre, en probabilité, en loi.
• Théorèmes limites : Loi forte des grands nombres, théorème limite central.
• Vecteurs gaussiens : théorème de Cochran, échantillons gaussiens.

Théorie des nombres (6 ECTS)

24h de cours, 24h de TD

Il s’agit d’un cours d’introduction, plus dans l’esprit des livres de HARDY–
WRIGHT ou de IRELAND–ROSEN ainsi que de celui de SAMUEL.

• Arithmétique dans les corps finis (réciprocité quadratique, Chevalley-Warning, etc...)
• Séries de Dirichlet et application au théorème des nombres premiers, théorème de la progression arithmétique
• Anneaux d’entiers des corps quadratiques : anneau des entiers de Gauss et sommes de deux (voire quatre) carrés; théorie de Gauss; équation de Pell-Fermat...

Semestre 2

L'étudiant, souhaitant à l'issue du master faire une thèse en mathématiques fondamentales, choisira ses cours du second semestre en fonction du parcours visé de la spécialité Mathématiques en master 2. Si de plus, l'étudiant souhaite passer l'agrégation de mathématiques à l'issue du master, il lui est conseillé de se diversifier et donc prendre un ou deux cours dans d'autres thématiques que le parcours visé de la spécialité Mathématiques.

L'étudiant faisant un master 1 dans l'optique de passer l'agrégation pour être professeur du secondaire a la possibilité de ne prendre que 2 cours du parcours Mathématiques fondamentales et de choisir un des cours du second semestre à 9 crédits du parcours Mathématiques appliquées et faire un projet correspondant (6 crédits) à la place du T.E.R..

4 cours à choisir parmi Équations aux dérivées partielles elliptiques (6 ECTS)

24h de cours, 24h de TD

• fonctions harmoniques, noyau de Poisson
• formulation variationnelle du problème de Dirichlet : espace H1, principe du maximum, hypoellipticité, ...
• méthodes numériques (éléments finis en dimension 1)

Fonctions spéciales et fonctions holomorphes (6 ECTS)

24h de cours, 24h de TD

• Suites et séries de fonctions holomorphes et méromorphes, fonctions Gamma, zêta de Riemann
• Développements asymptotiques (méthode de Laplace, de la phase stationnaire, du col); fonctiond’Airy
• Équations différentielles dans le plan complexe (théorie locale); théorie de Fuchs; fonctions de Bessel

Algèbre commutative et géométrie algébrique (6 ECTS)

24h de cours, 24h de TD

• Algèbres de polynômes : caractère factoriel, noethérien
• Résultant, élimination
• Idéaux monomiaux, lemme de Dixon, bases de Gröbner
• Théorème des zéros de Hilbert, correspondance algèbre - géométrie
• Application des bases de Gröbner à divers problèmes algorithmiques d’algèbre commutative
• Étude (au choix) de quelques variétés affines ou projectives.

Théorie des groupes et géométrie (6 ECTS)

24h de cours, 24h de TD

• Rappels sur les groupes et les actions de groupes
• Groupe linéaire, spécial linéaire sur un corps; familles de générateurs; drapeaux, décomposition LU, décomposition de Bruhat
• Formes bilinéaires et quadratiques; groupes orthogonaux et symplectiques
• Théorème de Cartan-Dieudonné
• Formes quadratiques sur R; compacité du groupe orthogonal; ses sous-groupes finis en dimension 3; décompositions de Cartan et d’Iwasawa
• Groupes linéaires sur un corps fini; simplicité; étude zoologique : utilisation des inversibles d’une sous-algèbre de matrices pour trouver des sous-groupes de Sylow - dans des tores maximaux ou des sous-groupes unipotents selon les cas
• Sous-groupes fermés (théorème de Cartan) et compacts du groupe linéaire

Topologie algébrique et géométrie riemannienne (6 ECTS)

24h de cours, 24h de TD

Le cours exposera un ou plusieurs thèmes parmi les suivants :

• Revêtements, groupe fondamental
• Variétés et leur cohomologie de De Rham, formule de Stokes
• (Co)homologie singulière
• Variétés riemanniennes (surfaces : theorema egregium), géodésiques,...
• Topologie différentielle

Logique, théorie des modèles, complexité (6 ECTS)

24h de cours, 24h de TD

• Théorie des modèles, théorème de compacité, théorèmes de complétude et d'incomplétude
• Complexité: automates finis, machines de Turing, classes P et NP

Le cours suivra essentiellement quelques chapitres du livre de Michael Sipser, Introduction to the Theory of Computation :

1. Automates finis, déterministes et non-déterministes. Langages réguliers, lemme de pompage.
2. Machines de Turing et leurs variantes, thèse de Church. Langages décidables, le problème d'arrêt.
3. Complexité classes P, NP NP-complétude

Statistique mathématique (6 ECTS)

24h de cours, 24h de TD

• Motivations à partir du schéma de Bernoulli : Espace statistique; Estimation ponctuelle du paramètre inconnu; Intervalle de confiance; Test d'hypothèses
• Rappels sur les différents modes de convergence : Convergences presque sûre, en probabilité, en loi; Fonctions de répartition, fonctions caractéristiques; Critères; Équi-intégrabilité; Convergences faible et étroite de mesures
• Autour de la loi gaussienne : Loi normale en dimension d, matrice de covariance; Test de centralité; Intervalle de confiance; Statistiques asymptotiquement normales; Modèle de regression linéaire
• Statistique non-paramétrique : Fonction de répartition empirique; Lemme de Glivenko-Cantelli, loi de Kolmogorov-Smirnov; Observations ordonnées; Test de Wilcoxon
• Fondements de la statistique mathématique : Espace statistique dominé; Familles paramétriques; Fonctions de perte et de risque, estimateurs uniformément optimaux; Exhaustivité; Complétude
• Théorie de l'estimation ponctuelle : Estimateurs ponctuels non-biaisés avec risque uniformément petit; Estimateur du maximum de vraisemblance; Estimateur baysien
• Éléments de la théorie des tests : Fondements; Hypothèses simples; test de Neyman-Pearson; Tests basés sur le rapport de densités; Optimalité

Chaînes de Markov et martingales (6 ECTS) Analyse et Applications Semestre 3 Outils fondamentaux pour les EDP et leur discrétisation (12 ECTS)

Ce cours se décompose en deux parties : la première traite des problèmes elliptiques linéaires et non-linéaires et la deuxième des problèmes d’évolution et de leurs discrétisations.

Intervenants : Nicoletta Tchou et Frédéric Rousset.

Théorie spectrale et théorie de la diffusion (12 ECTS)

Théorie Spectrale

1. Opérateurs bornés sur un espace de Hilbert.
2. Opérateurs non bornés
3. Opérateurs auto-adjoints
4. Perturbations
5. Formes quadratiques et commutateurs
6. Un peu de calcul pseudodifférentiel et asymptotique spectrale.

Théorie de la diffusion

1. Les opérateurs d'onde et la matrice de diffusion
2. Les approches stationnaire et dépendantes du temps
3. La complétude asymptotique
4. L'opérateur de Schroedinger

Intervenants : Francis Nier et Dimitri Yafaev

Systèmes intégrables (12 ECTS)

Ce cours, à cheval sur la géométrie et l'analyse, propose une initiation aux systèmes hamiltoniens complètement intégrables.

La géométrie hamiltonienne est un formalisme extrêmement pratique pour étudier certains types de systèmes dynamiques, en particulier ceux qui proviennent de la mécanique classique.

Les systèmes intégrables sont ceux qui, possédant un grand nombre d'intégrales premières, sont les plus "faciles" à résoudre. La théorie des systèmes intégrables permet également d'explorer les systèmes "proches" des systèmes intégrables (comme dans les fameux théorèmes "KAM").

Plan du cours

1. Notions de géométrie différentielle, variétés espaces tangents, formes différentielles, géométrie symplectique, champs de vecteurs hamiltoniens, systèmes intégrables à la Liouville.
2. Le théorème des coordonnées actions-angles (Liouville-Mineur-Arnold). Actions hamiltoniennes de tores, linéarisation. Cas torique, polytopes moment, lien avec les matrices hermitiennes.
3. Forme normale de Birkhoff. Problème de la convergence.
4. Théorie KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser) des perturbations des systèmes intégrables.

Intervenants : Guy Casale et San Vu Ngoc

Semestre 4 Équations de Navier-Stokes (6 ECTS)

-Calcul paradifférentiel, espaces de Besov, BMO

-Solutions fortes pour Navier-Stokes: théorème de Fujita-Kato (cadre Sobolev), Cannone- Meyer-Planchon (cadre Besov) et éventuellement celui de Koch-Tataru (cadre BMO^{-1})

-Solutions globales d=3: le cas axisymétrique sans swirl.

Intervenants: Taoufik Hmidi et Roger Lewandowski

Systèmes de réaction-diffusion (6 ECTS)

L'objectif du cours est de présenter divers aspects de l'analyse mathématique des équations d'évolution de type"réaction-diffusion", qui interviennent dans des domaines variés comme la chimie, la biologie, la dynamique des populations, la thermique, etc. Nous aborderons des questions aussi variées que possible parmi lesquelles l'existence locale de solutions, l'existence globale en temps ou l'éventuelle explosion en temps fini, l'unicité, la régularité, le comportement asymptotique, les ensembles invariants, le principe du maximum et l'ordre (ou le désordre), etc. Nous exposerons les théories bien établies, en travaillant souvent par analogie avec le cas des EDO et nous évoquerons aussi des problèmes ouverts et d'actualité. Plusieurs exemples seront décrits explicitement, avec la modélisation dont ils sont issus, et il sera demandé de les simuler afin d'acquérir une intuition des divers comportements évolutifs qui deviennent très vite complexes et surprenants.

Intervenants : Michel Pierre et Rozenn Texier-Picard

Problèmes d’ergodicité et de valeur limite pour les équations d’Hamilton Jacobi Bellman et le contrôle optimal (6 ECTS)