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Introduction du cours

Les nombres complexes, késako ? Ils ne sont pas déjà assez complexes, les nombres que l’on connaît ? Eh bien, au risque de vous désespérer ;) non… Rassurez-vous. De toute façon, il ne s'agit ici que d'une introduction aux nombres complexes, plutôt destinée à celles et ceux qui ne sont pas vraiment familiers du concept, ou alors qui ne sont pas sûrs d'avoir tout compris en classe. Nous allons dans ce cours découvrir ce que sont les complexes, s'amuser un peu avec, et puis découvrir quelques utilisations que l'on peut en faire. Donc : complexes oui, mais vous allez voir, pas si compliqués ! 

Qu’est-ce qu’il veut dire ?

En fait, c’est assez simple à comprendre à partir d’un exemple. Certains d’entre vous –je le sais car j’ai moi-même été concerné à une époque ;) –ont peut-être déjà pressenti leur existence en classe de 4ème, lorsque l’on vous a présenté les fameuses racines carrées. Pour certains, cela fait un bail, pour d’autres un peu moins, mais si vous vous souvenez de ce que vous ont dit vos professeurs de mathématiques alors (certainement en grinçant des dents !), c’était qu’il n’existait pas de racine carrée d’un nombre négatif. Eh bien, c’est faux. La vérité (encore qu’il puisse paraitre un peu déplacé, je le reconnais, d’évoquer le concept de vérité en mathématiques), c’est que nos nombres négatifs possèdent bel et bien une racine carrée. Seulement voilà, ils ne ressemblent pas à ceux que vous connaissez, et  à l’époque vous étiez trop jeunes pour comprendre le concept, ou du moins c’est ce qu’a jugé l’Éducation Nationale. Qu’à cela ne tienne ! Aujourd’hui, vous avez grandi (si, si !) et vous êtes enfin prêts à (re)-découvrir ces fameux nombres complexes. Alors en avant !

IntroductionLes ensembles de nombres

Petite piqûre de rappel, pour ceux qui seraient peu ou pas familiers de cette notion : il existe plusieurs ensembles de nombres. L’ensemble le plus connu, celui avec lequel on travaille tous les jours, est l’ensemble de réels, aussi noté ℝ, qui contient les nombres que vous connaissez : 0, 1, 2.324252556, ¾, √2, π, etc. Ainsi bien entendu que leurs opposés : -1, -2.324252556, etc.

Mais ℝ n’est pas, loin s’en faut, l’ensemble le plus simple, ni même le plus intuitif. Souvenez-vous, avant de comprendre l’utilité des nombres "à virgule", vous ne vous serviez que des nombres entiers positifs et cela vous allait très bien (pour les complexes, c’est pareil, mais on y reviendra plus loin). Cet ensemble des nombres entiers est noté ℕ et contient tous les nombres positifs « sans virgules », les plus intuitifs en quelque sorte : 0, 1, 2… 10000 etc. Lorsqu’on a considéré que vous étiez un peu plus mûrs, on vous a présenté son grand frère : ℤ, qui contient tous les entiers positifs mais également leurs opposés : -1, -2, … -10000 etc.

Lorsque vous êtes entrés en CM1, on vous a parlé des fractions, qui sont ces nombres qui peuvent s’écrire comme le quotient de deux entiers. Par exemple, 0.5 qui peut s’écrire ½, mais aussi 0.333333… qui peut s’écrire 1/3. Bien entendu, tous les entiers appartiennent également à cet ensemble, noté ℚ, et que l’on appelle ensemble des nombres rationnels. Je rappelle à tout le monde que tous les nombres réels ne sont pas rationnels, et je vous donnerai en exemple le fameux √2. Pour ceux que cela intéresse, ça se démontre (évidemment) mais ce n’est pas le sujet de ce cours (enfin, pas vraiment), et je vous invite à aller vous documenter si le cœur vous en dit.

Enfin, sachez que je vous ai présenté les ensembles les plus courants mais qu’il en existe d’autres, incluant ou excluant ceux que l’on vient de voir. Nous allons maintenant commencer à nous intéresser au sujet d’aujourd’hui, l’ensemble des nombres complexes, que l’on note ℂ.

A quoi ça sert ?

Un petit conseil : surtout, ne posez plus jamais cette question. À personne.  De toute façon, après avoir lu ce cours, vous serez comme tous ceux avant vous qui ont découvert la magie de ℂ, vous vous demanderez comment vous aviez vous vivre sans lui jusque-là :p

Parce que demander à quoi sert ℂ, c’est un peu comme lorsqu’un enfant demande à quoi sert le dioxygène ; en tant que parent, ou grand frère ou grande soeur, ou en tout cas en tant qu’adulte (ou pas ;)), cela vous fait sourire : à quoi sert le dioxygène ? Mais à tout, voyons ! C’est mignon, à c’t’âge-là, hein…

Reprenons notre toute première réflexion, celle que vous vous étiez faite en 4ème : alors comme ça, les nombres négatifs n’ont pas de racine carrée ? Simplement au motif qu’ils seraient négatifs ? Les pauvres… Heureusement, ℂ est là pour eux… entre autres.

Mais les utilisations de ℂ sont multiples : géométrie, automatique, électricité, mécanique… Nous y reviendrons un peu plus tard.

Présentations

Alors voilà, maintenant que vous êtes convaincus de l’utilité de cet ensemble, je vous présente ℂ : votre nouvel ami. Et avant toute chose, il m’impose de vous présenter votre tout premier nombre complexe. Pour cela, je vais me rattacher au problème de départ : les racines carrées. Prenons le nombre négatif qui nous vient à l’esprit en premier : -1. Jusqu’ici, -1 se sentait bien seul, sans sa racine carrée… Nous allons réparer cette injustice : -1, je vous présente votre racine carrée : i. i, je vous présente votre carré : -1.

Forcément, on n’a pas inventé un second alphabet pour écrire ces autres nombres. Et en fait, on n’en a pas eu besoin. Ce qu’il faut impérativement comprendre avant d’aller plus loin, c’est que les complexes sont des nombres à deux dimensions.

ARGHHH !! Quoi, comment ça, des nombres à deux dimensions ??

Rassurez-vous, en fait, il n’y a rien de nouveau. Vous aviez jusqu’ici déjà fait joujou avec des vecteurs ou fait de la géométrie plane ? Alors ces nombres à deux dimensions ne devraient pas vous faire plus peur que cela. En fait, nous allons bientôt nous rendre compte que les vecteurs, les points (notés au moyen d’un couple (x, y) pour (abscisse, ordonnée)) peuvent être représentés par des nombres complexes.

Si on peut représenter un nombre réel par une simple coordonnée (x) et le placer sur une droite, un nombre complexe se note au moyen d’un couple (x, y), et on peut le représenter sur un plan. On peut donc voir dans un premier temps les nombres complexes comme de simples points du plan que l’on va appeler, pour faire pompeux, le plan complexe. Qui n’est rien de plus qu’un plan muni des deux axes que vous connaissez, l’axe des abscisses que l’on va appeler l’axe des réels, et celui des ordonnées que l’on va appeler l’axe des imaginaires purs.

Le plan complexe

 

Comme vous l’aurez deviné, mon axe des abscisses n’est autre que notre ensemble ℝ et je peux y placer 0, 1, -1, 3.7856 et leurs copains. Vous voyez comme on vient d’élargir notre horizon ! Voici pourquoi jusqu’à présent, on considérait qu’il n’existait pas de racines carrées aux nombres négatifs : parce qu’on ne pouvait pas les voir !!

Sur le schéma ci-dessus, j’ai représenté un point (ou un nombre complexe, donc), que j’ai appelé z. Et j’ai dessiné également ses projections, ou ses coordonnées, sur les axes des abscisses et des ordonnées. Je vous l’ai dit, un nombre complexe est représenté par deux dimensions : ce sont en fait ses projections sur ces deux axes : je les ai notés x et y. Du fait de leur axe, nous allons par la suite nommer ces deux nombres partie réelle de z et partie imaginaire  de z.

Minute, minute, au fait ça veut dire quoi, « imaginaire » ?

Nous y voilà, donc, à ce qui fait la spécificité des complexes : leur partie imaginaire. Parce qu’on l’a « imaginée », en quelque sorte : c’est cette deuxième dimension. Ainsi, les nombres dont la partie réelle est nulle (elle vaut 0 ; c’est-à-dire que l’abscisse de leur point représentatif vaut 0) seront représentés par un point qui appartient à l’axe des imaginaires purs, en d’autres termes, ils sont des nombres imaginaires purs. À l’inverse, des nombres sont la partie imaginaire est nulle appartiendront à l’axe des réels (de fait, ce sont les réels).

Par exemple, notre fameuse racine carrée de -1, i, est un imaginaire pur. C’est plus clair ? Allez, on avance.

Ecriture des nombres complexes

On vient de le voir, les complexes peuvent être notés au moyen d’un couple (x, y) qui désigne leur partie entière et leur partie réelle. Ces nombres x et y sont… des réels. Par exemple, si je considère le nombre complexe que j’ai représenté sur le plan, juste au-dessous :

Le plan complexe gradué

On voit que x = 3 et y = 2. Une écriture possible de z est donc (3 ; 2).

Oui, bon, comme les mathématiciens sont des gens torturés (Aaah, la voilà l’Explication !! mais non, je rigole), on note ce nombre : 3 + 2i.

On retrouve donc notre fameux i. Certains ont peut-être déjà fait l’analogie avec les vecteurs : si j’avais posé deux vecteurs : u(1, 0) et v(0, 1), on aurait noté le vecteur (3, 2) = 3u + 2v. Eh bien ici, c’est pareil ! Nos deux vecteurs de base sont cette fois-ci des nombres
(complexes) : 1 (qui vaut (1, 0) ou 1 + 0i ; et i justement, qui vaut (0, 1) ou 0 + 1i.

D’où l’écriture conventionnée, appelée forme algébrique, de z : z = 3 + 2i.

Remarque : z est bien égal à la somme de 3 et de 2i. Le « + » n’est pas
une convention d’écriture, c’est bien l’addition telle que vous la
connaissez !

 Bien, à présent, il est temps de passer aux choses un peu sérieuses : du calcul !

Les bases du calcul complexe

Le nom est ronflant, mais je vous rassure, rien de bien méchant.

L'addition et la soustraction

Vous savez additionner des vecteurs ? Alors vous savez additionner des complexes. Ce qu’il faut garder à l’esprit, c’est que les deux « dimensions » de notre nombre complexe z sont
orthogonales : elles sont indépendantes par l’addition. Tout simplement, si je prends deux nombres complexes, z = x + iy et z’ = x’ + iy’, j’ai :

z + z’ = (x + x’) + i (y + y’)

Un exemple ? Allez : z = 4 - 2i et z’ = 2 + i

 z + z’ = 6 - i

Bien-sûr, pour la soustraction, ça marche pareil : dans le cas de mon exemple ci-dessus, je vais avoir : z - z’ = 2 - 3i

 Facile ? On continue, alors.

La multiplication

Alors, la multiplication a l’air comme ça d’être un peu compliquée, mais en fait, pas du tout. On va se contenter de distribuer pour trouver la formule, en gardant à l’esprit une seule chose : i² = -1. Oui, souvenez-vous, i est la racine carrée de -1. On a donc, avec les mêmes notations que précédemment :

zz’ = (x + iy)(x’ + iy’)

     = xx’ + ixy’ + iyx’ + i²yy’

     = xx’ + i(xy’ + yx’) - yy'

Soit :

zz’ = (xx’ - yy') + i(xy’ + yx’)

Bon, ça va toujours ? Je vous épargne la division… Pour le moment.

Le conjugué

Je vais vous parler d’une opération un peu particulière : le conjugué d’un complexe. Rassurez-vous, rien à voir avec votre Bescherelle. On a toujours notre z = x + iy. Eh bien je vais noter w la quantité conjuguée de z, c’est-à-dire le nombre complexe  w = x - iy.

Remarque : le conjugué de w est z.

Remarque : on note souvent le conjugué de z de la lettre z surmontée d'une petite barre, comme ci-dessous.

z et son conjugué

On peut voir que le conjugué de z est aussi son symétrique par rapport à l’axe des réels. C’est tout ! Pour le moment, dirait Benjamin… Ok, ok, j’arrête. On va maintenant étudier une autre écriture de z, la forme trigonométrique.

La forme trigo

Bon, z = x + iy, c’est bien joli, mais on peut avoir besoin dans certains cas d’une autre écriture de z. Souvenez-vous, on avait vu que x et y, les parties réelle et imaginaire de z, sont en fait les « coordonnées » du point Z, représentant z  (on dit : "le point d’affixe z").

Je vais maintenant faire appel à vos connaissances de trigonométrie. Vous vous souvenez sûrement que dans un triangle ABC rectangle en A, on a :

cos(B) = AB / BC

sin(B) = AC / BC

Triangle rectangle

Si maintenant je me place dans le plan complexe et que j’y place mon complexe z ; je considère alors le triangle OZX, où j’ai appelé X la projection de Z sur l’axe des abscisses (à noter que l’on peut très bien raisonner dans l’autre triangle, OZY, avec Y la projection de Z sur l’axe des ordonnées) :

Le triangle rectangle OZX

OZX est bien rectangle en X, du fait que mon repère est orthogonal (et même orthonormé). Je peux donc écrire, en appelant θ l’angle ZOX et r l’hypoténuse OZ :

cos(θ) = OX / r

sin(θ) = ZX / r

Or : la distance OX, c’est ma partie réelle x, tout simplement. De même, ZX n’est rien d’autre que y. On a donc :

cos(θ) = x / r

sin(θ) = y / r

Vous ne voyez pas la magie ? Eh bien c’est tout simplement que pour décrire un nombre complexe (à deux dimensions), il me faut deux informations (une pour chaque direction, si vous voulez) : jusqu’à présent, on n’avait utilisé que x et y, deux réels décrivant les valeurs des parties réelle et imaginaire de z. Ce que l’on vient de faire, c’est trouver une autre façon de décrire z, au moyen de deux autres de ses caractéristiques : r et θ, que l’on appelle respectivement le module et l’argument de z.

Pour bien visualiser les choses, retenez que :

- r est la distance à zéro de z, ou, en quelque sorte, sa valeur absolue ;

- θ est l’angle que forme le segment OZ avec l’axe des réels.

 Pour retrouver r et θ d’après les valeurs de x et y, c’est simple : le théorème de Pythagore nous donne :

r² = x² +...

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